Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения si"1 ясно, что si~xsi является единичным оператором на S и sisi~l есть единичный оператор на Т.
§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве
1. Матрица линейного оператора. В настоящем и следующих параграфах будут рассматриваться линейные операторы, действующие из векторного пространства S в себя. Пусть ех, еп — базис S. Тогда оператору si соответствует матрица, составленная из столбцов координат векторов sieu sie2, sien относительно базиса е\, е2, еп, так что эта матрица квадратная. В отличие от ситуации, когда мы рассматривали линейные операторы действующие из пространства S в пространство Т, и мы имели возможность выбирать базисы в каждом из этих пространств, здесь сво-
318
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[гл- xii
бода в выборе базиса меньше, мы можем выбирать базис лишь в самом пространстве S. Матрицы преобразования координат В и С, независимо выбиравшиеся в ситуации § 4, здесь совпадают, так что формула для изменения матрицы при преобразовании координат принимает вид Л' = С-1 Л С. Здесь Л— матрица оператора ssf-, отнесенная к исходному базису, С — матрица преобразования координат и А' — матрица оператора s4- в преобразованном базисе.
Таким образом, при преобразовании координат матрица линейного оператора претерпевает преобразование подобия.
Выше мы видели, что характеристический полином det (tE— А) матрицы А не изменяется при преобразовании подобия. Следовательно, характеристический полином матрицы оператора зависит лишь от самого оператора и не зависит от выбора базиса пространства. Поэтому будем его называть характеристическим полиномом оператора.
2. Действия над операторами. Векторное пространство над полем К, для элементов которого определено действие умножения, сопоставляющее упорядоченной паре векторов третий вектор, называемый их произведением, называется алгеброй над К, если выполнены соотношения билинейности произведения:
(C1X1 4- C2X2) у = C1X1U 4- C2X2I),
X (СХУХ + С2у2) = C1Xyx + С2Х1/2.
Таким образом, в алгебре соединяются структуры векторного пространства и кольца, согласованные свойствами билинейности. Алгебра называется ассоциативной, если действие умножения ассоциативно. Примером ассоциативной алгебры служит алгебра квадратных матриц с элементами из поля К.
Операторы, действующие из S в S, образуют, очевидно, алгебру, ибо они образуют векторное пространство и для них определено действие умножения, удовлетворяющее соотношениям билинейности. Алгебра операторов ассоциативна. Роль единицы в ней играет единичный оператор S', сопоставляющий каждому вектору самого себя.
Оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нуля или, что то же самое (в силу зависимости между размерностями ядра и образа), если S отображается на все 5. Для невырожденного оператора существует обратный.
Алгебра операторов из S в S изоморфна алгебре квадратных п X «-матриц, где п = dim S. Изоморфизм задается сопоставлением каждому оператору St- его матрицы относительно некоторого фиксированного базиса. Единичному оператору при этом соответствует единичная матрица, невырожденным операторам — невырожденные матрицы и взаимно обратным операторам — взаимно обратные матрицы.
Для дальнейшего нам будут нужны значения полиномов от оператора. Именно, если f(t)=aotn+ ... + апє K[t], то
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
319
положим f(si) = U0M" + ••• + an-\Si + CinS. Ясно, что матрицей (по отношению к некоторому базису) оператора f(si) является f(A), где А — матрица оператора si.
3. Инвариантные подпространства. Подпространство P пространства S, в котором действует оператор Si, называется инвариантным относительно этого оператора, если для любого ^eP вектор six тоже принадлежит Р. Таким образом, оператор si отображает P в Р, и, ограничив область определения оператора si подпространством Р, мы получим оператор из P в Р. Для краткости, вместо того чтобы говорить об ограничении оператора si на Р, скажем короче — оператор Si- на Р.
Далее, если X = у (P), т. е. х — у єР, то si(x — у)єР, так что six = siy (P). Таким образом, оператор si сохраняет сравнимость по инвариантному подпространству, и тем самым действие оператора si естественно переносится на факторпространство. В результате на факторпространстве возникает оператор, индуцированный оператором si.
Пусть в\, ек — базис инвариантного подпространства Р, и пусть в\, ви, ek+u еп — базис S, включающий базис Р. Тогда для векторов siei, Siek координаты, начиная с (A-f-l)-ft, равны нулю, так что в выбранном базисе оператору Si соответствует матрица
A =
и
... аХк
а1,*+1
•*1
¦¦¦ akk
ak. ft+1
¦¦ akn
... 0
aft+I,ft+l •
¦• ak+l.n
... 0
an.k+l
a
пп
С' ;)•
( ап ••• aik \ Матрица A1 =1 ....... I
^ aki ••• akk J
есть, очевидно, матрица опера-
¦ki ••• akk J
тора si на Р. Далее,
sien = а„, к+\Єк+\ +
+ Q-k+\, n?n,
-\-annen
(P),
так что правый нижний квадрат A2 матрицы А есть матрица оператора, индуцированного оператором si на фактопространстве S/Р.
