Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5. Для того чтобы сумма Pi +Pt + ... ... +Pk была прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов Ри P2, .... Pk составляло базис суммы.
Доказательство аналогично доказательству предложения 3.
П р е д л о.ж е н и е 6. Для того чтобы сумма Pi + P2+ ... ... +Pk была прямой, необходимо и достаточно, чтобы PiOP2 = = 0, (Pi + Р2)Л^з = 0, и т. д., т. е. пересечение каждого подпространства Pi с суммой предшествующих состояло только из нулевого вектора.
Необходимость следует из предложения 4. Доказательство достаточности проведем индукцией по числу слагаемых подпространств. Из (Pi+ ... + P*-i)n^fc = 0 следует, что если «і + ... ... + Uk-i + Uk = 0, то Uk = O и «і + ... + Uk-i = 0. В силу индуктивного предположения «і = ... =Мд._1=0. Базу для индукции дает случай k = 2 (предложение 2).
4. Относительная линейная независимость и относительный базис. Пусть S — векторное пространство и P — его подпространство. Скажем, что векторы ui.....uk линейно независимы относительно Р, если из включения CiUi+ ... + CkUkє= P ,следует, что. Ci = ... = cfe = 0.
*2]
ПОДПРОСТРАНСТВА
31!
Предложение 7. Для того чтобы совокупность их, Uk векторов была линейно независима относительно подпространства Р, необходимо и достаточно, чтобы совокупность и\, ..., «*, в\, em, где в\, em — базис P, была линейно независимой.
Действительно, если Uu uk линейно независимы относительно Р, то из C]U]-T- ••• + ckUk + Ь]Єі + ... -\-bmem = 0 следует, что CiMi+ ... + адєР, поэтому Ci= ... =с* = 0 и также Ь] = ... = bm =0, в силу линейной независимости Cl, ет. Обратно, если u\, «д., е\, • ет линейно независимы, то из
ClMi + . . . + CkUk Є P Следует CiM1 + ... + CkUk = ЬХЄх + ...
... -т- bmem, откуда Ci = ... = с* = 0.
Векторы Uu Uk образуют базис S относительно Р, если они линейно независимы относительно P и любой вектор X є 5 представляется в виде их линейной комбинации, с точностью до векторов из Р. Точнее — если X = CiUj+ ... + CkUk + у, при уеР.
Предложение 8. Для того чтобы векторы щ, ..., и* составляли базис S относительно Р, необходимо и достаточно, чтобы векторы Ui, Uk, Ci, Cn,, где Ci, .... Cm — базис Р, составляли базис S.
Действительно, линейная независимость их, и*, ех, ..., ет необходима и достаточна для линейной независимости и\, и* относительно Р. Для того чтобы Ui, Uk порождали S с точностью до векторов из Р, необходимо и достаточно, чтобы Ui, ... ,.., Uk, Ci, ..., сш порождали S.
Из предложений 7 и 8 следует, что любая совокупность векторов, дополняющая базис P до базиса S1 есть базис S относительно Р. Любая линейно независимая относительно P совокупность векторов может быть дополнена до базиса S относительно Р. Число векторов, составляющих базис S относительно Р, равно разности размерностей ShP.
5. Факторпространство. Пусть S — векторное пространство и Я —его подпространство. Скажем, что векторы x,y^S сравнимы по подпространству P (и запишем х = у(Р)), если х — уєР. Ясно, что S «расслаивается» на классы сравнимых по P векторов. Далее, если X = у (P) и и = г (P), то схх + c2u = сху + c2z (P). Это обстоятельство делает корректным определение операции взятия линейных комбинаций на классах сравнений по Р. Ясно, что классы образуют векторное пространство по отношению к этой операции. Оно называется факторпространством и обозначается S/P. Если отвлечься от операции умножения элементов фактор-пространства на элемент основного поля, S/P есть факторгруппа аддитивной группы (т. е. группы относительно сложения) пространства S по аддитивной группе подпространства Р.
Предложение 9. Классы по Р, содержащие базис S относительно Р, образуют базис S/Р. Обратно, элементы, взятые по одному из классов базиса S/P, составляют базис S относительно Р.
312
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. KU
Действительно, включение CiUi + ... + CkUk є P равносильно сравнению CiW1+ ... + скак = О (P) и равенству с(й+ ... ... + скик = 0 (черточка обозначает переход к классам сравнений по P), так что линейная независимость U1, ик относительно P равносильна линейной независимости элементов U1, ..., йк фак-торпространства. Равенство х = Ci«i + ... + скик + у при у є P равносильно сравнению х = схих + ... + скик (P) и равенству х = = Ci«i + ... + Сии-* в факторпространстве.
Отсюда следует, в частности, что размерность факторпростран-ства S/P равна разности размерностей S и Р.
§ 3. Линейные функции
1. Сопряженное пространство. Линейными функциями на векторном пространстве 5 называются функции, определенные на векторах этого пространства со значениями в основном поле К, удовлетворяющие условию линейности: 1{схх + с2у) = сх1(х) + + с21(у). Пусть в S выбран базис е\, е2, еп. В силу линейности значение функции I на любом векторе определяется значениями на базисе; действительно, если (хь .. ., хп)т — столбец из координат вектора х, так что х = Хіві + ... + хпеп, то l(x) = xil(ei) +¦... ... -т-хп1{еп). Ясно, что любая функция, выражаемая через координаты по формуле /(X)=A1Xi+ ... +(InXn, будет линейной функцией. Таким образом, между линейными функциями на 5 и строками (аи CLn) в формуле Z(x)=aiXi+ ... +апх„ имеется взаимно однозначное соответствие. Значение функции 1(х) на векторе X равно произведению строки из коэффициентов линейной функции на столбец из координат вектора х.
