Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для линейных функций естественным образом определяются действия сложения и умножения на элементы основного поля, именно, по определению, {h + I2)X= Ii(х)+12(х) и (cl)x = cl(x). По отношению к этим действиям линейные функции образуют векторное пространство, называемое сопряженным с пространством S и обозначаемое S*. Оно, очевидно, изоморфно пространству строк коэффициентов линейных функций и, следовательно, я-мер-но, так же как S. Однако естественного изоморфизма между 5 и S*, который бы не зависел от выбора базиса, не существует.
Элементы хє5 естественно порождают линейные функции на пространстве S*, если считать х(/) = /(х). Поэтому S изоморфно погружается в (S*)*. Образ при этом погружении совпадает с пространством (S*)*, ибо размерности пространств S и (S*)* равны. Это позволяет рассматривать пространство S как сопряженное с пространством S*.
Линейные функции на пространстве S называют также ковек-торами. В этой терминологии значение линейной функции на векторе называется скалярным произведением ковектора на вектор лли вектора на ковектор.
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
313
2. Дуальный базис. Пусть в пространстве S выбран базис, Покажем, что в S* существует базис, в котором координатами ко-вектора оказываются коэффициенты в выражении значения линейной функции через координаты вектора.
Обозначим через /; функцию, сопоставляющую каждому вектору из S его г-ю координату в выбранном базисе е\, е2, еп. Ясно, что ft — линейная функция и /,(е,)=1, f,(e/) = 0 при іф\. Тогда I (х) = a,Xi +Ci2X2+ ... + апхп = ?i/i (х) + a2f2(x)+ ... ... +anfn(x) = (aifi + a2f2+ ... +anfn){x).
Таким образом, коэффициенты ах, а2, ап оказываются координатами ковектора / в базисе fi, f2, fn. Этот базис называется дуальным с базисом ei, е2, ..., еп пространства S. Если рассматривать S как пространство, сопряженное с S*, то, очевидно, базисом, дуальным с базисом fi, f2, f„, является исходный базис еи е2, ..., еп-
3. Преобразование координат в S* при преобразовании координат в S. Пусть в S выбран новый базис е\, е2> ..., еп, связанный с исходным соотношениями
Є\ — С\\Є\ + С2\е2 4" • • • +
е2 ~ С\2Є\ + С22Є2 4" ¦ • • 4" Сп2Єп>
Єп = С\пЄ1 + С2пЄ2 + ••• +СппЄп-
Тогда координаты в исходном базисе выражаются через координаты в новом базисе по формулам:
X1 = CnX1 + C12X2 4-...-(- c\nxni X2 = С2\Х\ 4" C22X2 4" ¦•• 4" С2пХп.'
Хп — Cn\X'l 4- С„2Х2 4--.-4- СппХп-
Линейная функция 1(х)= O1X1 + а2х2 + ... + апхп с координатами а\, а2, ап в базисе, дуальном с исходным, выразится через новые координаты вектора х по формуле:
1(х) = а1(спх\ + с{2х'2 + ... 4 с,Х) 4-
+ а2(с2,х\ + с22х'2 + ... 4 C2X)+
+ ап(спі< + спА+ ••• +CnA)=*
= (с„а, 4 с21а2 4 ... +спХап)х\ + 4 (C12O1 4- с22а2 + ... +сп2ап)х'2 +
+ (с.„«і + с2па.2 4-..-4- сппап) Xf11,
314
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. KIl
так что координаты 1(х) в базисе, дуальном с базисом е\, е'2, ... .... е'п, равны:
а\ = C11O1 + c2la2 + ... + C111Otn, ^ = C12O1H-C22U2+ ... +сп2а„,
Тем самым формула преобразования совпадает с формулой перехода от исходного базиса к новому. Как говорят, координаты ковектора изменяются ковариантно с изменением базиса пространства S, в отличие от координат вектора, которые, как мы видели выше, изменяются контравариантно.
§ 4. Линейные отображения векторных пространств
1. Ядро и образ при линейном отображении. Линейным отображением или линейным оператором векторного пространства S в векторное пространство T называется функция определенная на 5 со значениями в Т, удовлетворяющая требованию линейности
(C1X + с2у) = C\S&x + с2зФу.
Линейные отображения будем записывать рукописными прописными буквами перед обозначением вектора, опуская скобки.
Пусть dim 5 = п и dim T = m и в пространствах ShT выбраны базисы Ci, еп и fi, fm- Пусть, далее, М — линейное отображение из S в 7\ Ясно, что значения «я? вполне определяются значениями на базисе ей .... е„, ибо, в силу линейности, St (XiCi + ... + хпеп) = Xystei + ... + XnSIen- Обозначим через (ац, аті)т, .... (ащ, атп)т столбцы из координат векторов steu ^en в базисе f\, .... fm и буквой А — матрицу, составленную из этих столбцов:
/аи а12 ... ain \ . I аг\ а22 ... а2п I
N І/пі Яті . • • 0,тт '
Тогда координаты (у\, утУ вектора у = зФх выражаются по формулам
Уі ^anX1 +0I2X2 + ... +аіпхп, Уг — anxi + O22X2 + ... + а2пхп,
Ут — 0-т\х\ Н~ ит2Х2 + ... + ОтпХп
через координаты вектора х или, в матричных обозначениях,
Y = AX,
) 4] линейные отображения векторных пространств 315
где через XnY обозначены столбцы из координат векторов х и у. Матрица А называется матрицей отображения Si.
Ядром кет M отображения si называется множество всех векторов из S, отображаемых в 0 пространства Т.
Образом \m si или siS отображения si называется множество векторов Mx при X є S. Ясно, что ядро и образ si являются подпространствами, соответственно, пространств SnT.
Векторы из S, сравнимые по кет si, т. е. отличающиеся слагаемым из ker si, имеют, очевидно, одинаковые образы в Т. Обратно, если Si-X = Si-Z, то si(x — 2)==0, т. е. X и z сравнимы по kexsi. Следовательно, между векторами образа SiS оператора si и элементами факторпространства S/кет si имеется взаимно однозначное соответствие. Это соответствие, очевидно, сохраняет линейные комбинации, так что пространство SiS изоморфно факторпростран-ству S/кет si. Следовательно,
