Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Совокупность векторов, удовлетворяющая этим условиям, называется базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства. Размерность пространства S обозначается dim S. Таким образом, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов (мы часто в дальнейшем будем говорить слова «линейно независимые» и «линейно зависимые векторы» вместо того, чтобы сказать «векторы, составляющие линейно зависимую совокупность» и — соответственно—для линейно независимой совокупности) и минимальному числу порождающих векторов.
Предложение 7. Пусть иь ..., ит — линейно независимая совокупность векторов, причем их число меньше размерности пространства. Тогда к ним можно присоединить вектор ит+\ так, что совокупность Uu • • •, Um, um+\ останется линейно независимой.
Доказательство. Рассмотрим множество линейных комбинаций CiUi -f- CmUn- Оно не исчерпывает всего простран-ства, ибо Uu ¦.., Um не составляют порождающую совокупность векторов. Возьмем вектор, не являющийся линейной комбинацией Uu Un- Тогда Uu Um, Wm+i — линейно независимая сово-
304
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
купность, так как иначе ит+\ был бы линейной комбинацией векторов ии . • •, ит, в силу предложения 2.
Из предложения 7 следует, что любую линейно независимую совокупность векторов можно дополнить до базиса.
Это же предложение и его доказательство указывают на характер произвола в выборе базиса. Действительно, если взять произвольной ненулевой вектор, то его можно достраивать до базиса, взяв второй вектор как угодно, только не линейную комбинацию первого, третий как угодно, только не линейную комбинацию первых двух, и т. д.
К базису можно «спуститься», исходя из произвольной порождающей совокупности.
Предложение 8. Любая порождающая совокупность векторов содержит базис.
Действительно, пусть Ui, и2, ..., ит — порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных, и его можно исключить из порождающей совокупности. Если оставшиеся векторы линейно зависимы, то можно исключить еще один вектор, и т. д., до тех пор пока не останется линейно независимая порождающая совокупность, т. е. базис.
3. Координаты вектора. Пусть Єї, еп—базис л-мерного пространства S над полем К и х — произвольный вектор этого пространства. Тогда х есть линейная комбинация Єї.....еп:
X = ХіЄі + X2C2 + . . . + XnCn
При Xi е К.
Такое представление единственно. Действительно, если х = = x'lei + x'2e2 + ... +х'пеп, то
(-< - *i)ei + (х'2-х2)е2 + ... + « -Xn)еп = 0,
и, в силу линейной независимость базиса, х\ — х, = X2-X2= ... ...=хп-хп = 0, т. е.
X1 = Xx, х2 = х2, Xn = Xn.
Коэффициенты Xi, X2,'..., Xn называются координатами вектора х. Координаты вектора будем представлять себе в виде столбца.
Два векторных пространства над одним и тем же полем называются изоморфными, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие (изоморфизм), сохраняющее линейные комбинации. Из определения ясно, что образ при изоморфизме линейно зависимой совокупности векторов будет линейно зависимой совокупностью, образ линейно независимой совокупности будет линейно независимой совокупностью, образ порождающей совокупности будет порождающей совокупностью, и, следовательно,
§ I) ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 305
N Cl п с%п ... спп /
называется матрицей замены базиса ех, е2, еп на е\, е'г,...,е'п.
В свою очередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового:
C1 =&,,<+V2+ ••• +Ьп/п' е2=Ь12е[ + O22C2+ ••• +?
еп = Ьые[ + Ь2пе'2+ ... +Ьппе'п.
Подставив в эти формулы вместо е\, е2, е'п их выражения через сі, с2, .... е„, получим:
ех = йцЄі + d2Xe2 + ... + dnlen, с2 == di2ex + d22e2 + ... + dn2en,
en = dinex + d2ne2-\- ... +dnnen,
образом базиса будет базис. Таким образом, изоморфные конечномерные пространства имеют одинаковую размерность.
Сопоставление каждому вектору л-мерного пространства 5 столбца из его координат по отношению к некоторому базису осуществляет изоморфизм пространства S и пространства столбцов с элементами из /(. Действительно, это сопоставление взаимно однозначно и сохраняет линейные комбинации. Именно, если вектор X имеет координатный столбец (xi, Xi, Xn)1 и у —столбец {у\,уг, УпУ, то х = ххех + х2е2+ ... +хпеп, У = УіЄХ +
+у2Є2+ . . . +У„Є„ И CiX + С2у= (СіХі-т-С2У\)е1+(СіХ2+С2у2)Є2+...
... + (сіХп-\- с2уп)еп, т. е. столбец из координат вектора сіх-\-с2у есть линейная комбинация с коэффициентами Ci и C2 столбцов из координат векторов х и у.
4. Замена базиса и преобразование координат. Пусть в пространстве S наряду с исходным базисом е\, е„ рассматривается другой базис е[, с2, е'п. Векторы, составляющие этот базис, выражаются через векторы исходного базиса линейно, с коэффициентами из основного поля:
е[ = C11C1 +C21C2 + ... +сп1еп,
Є2 = СІ2Є1 ~Ь С22Є2 + • • • + Сп2Єп' щ
Єп = СІпЄ1 + С2пЄ2 + ¦¦¦ +СппЄп
