Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Выберем прежде всего базис Т. Пусть это еи е2, ..., et. Имеем T cz P и T cz Q. Поэтому базис T можно дополнить до базиса P и до базиса Q. Пусть е\, е2, et, et+\, е„ — базис P и пусть et, e't+v e'q — базис Q.
Покажем, что векторы в\, et, et+\, ep, e't+l, ^составляют базис R = P + Q. Любой вектор гєі! равен х + у при X є Р, i/eQ. Следовательно, г = XiCi + ... + ;с?е< + Xi+iCz+i + ... ... + х„ер + + ... + ytet + + •.. + y/q, так
что векторы <?,, et, et+x, ер, e't+v e'q порождают R.
Докажем их линейную независимость. Пусть
Cf1 + ... + ctet + ct+1e,+I + ... + срер + Cj+1^+1 + . •. + c'/q = 0, откуда
ы = с,е,+ ... + cte, + c/+1cf+1 + ... 4-срер =
Вектор « принадлежит Р, ибо он есть линейная комбинация векторов базиса Р, но вместе с тем и є Q, ибо он есть линейная комбинация части базисных векторов Q. Следовательно, «є PfI Q и является линейной комбинацией векторов базиса этого подпространства: W = U]^i+ ... + atet- Приравнивая это представление и к его представлению через базис Q, получим:
P н Q.
а,е,+ ... +а^ = ••• ~ c'/q
или, что то же самое,
a,*?, + ... -\-atet + c't+]e'i+1+ ... +с;е; = о.
Но векторы є,, et, e't+l, линейно независимы, ибо они
составляют базис Q. Следовательно, c't+l = ... = c'q = 0, O1 = ... ... = at = 0 и
Cl*?l + ... + ctet + С<+іЄ<+і + ... + срер = 0.
ПОДПРОСТРАНСТВА
309
В силу линейной независимости базиса подпространства P получаем
Итак, все коэффициенты линейной комбинации векторов е\, ...
et, et+i, ер, e't+x, e'q оказались равными нулю. Следовательно, эти векторы линейно независимы. Так как они порождают P 4- Q, они составляют базис P 4- Q. Их число, т. е. dim(P 4- Q)1 равно
р 4- q — t = dim P + dim Q — dim (P f| Q).
Тем самым теорема доказана.
Доказанная теорема служит основой интуиции в вопросе о расположении подпространств в многомерных пространствах. Так, в четырехмерном пространстве S два двумерных подпространства P и Q (т. е. две плоскости, проходящие через начало координат) могут иметь три возможности взаимного расположения. Возможно, что их сумма дает все S. Тогда dim (P HQ) = O, т. е. плоскости пересекаются в одной точке. Возможно, что dim (P 4- Q) = 3, т. е. обе плоскости лежат в трехмерном пространстве и не совпадают. В этом случае dim (P HQ)=I, т. е. плоскости пересекаются по прямой. Наконец, если dim (P -j- Q) = 2, то P 4-Q совпадает с Р, с Q и с их пересечением, т. е. это тот случай, когда плоскости P и Q совпадают.
3. Прямая сумма подпространств. Сумма двух подпространств PnQ называется прямой суммой, если представление любого вектора из P +Q в виде суммы вектора из P и вектора из Q однозначно, или, что то же самое, из равенства ц4-и = 0 при неР, и є= Q следует и = 0, v = 0. Прямая сумма обозначается P©Q. Говорят, что если S = P Ф Q, то 5 разлагается в прямую сумму своих подпространств PwQ.
Предложение 2. Для того чтобы сумма P 4- Q была прямой, необходимо и достаточно, чтобы PHQ = O.
Действительно, если сумма прямая и гє PHQ, то 0==г + (—г) при гєР и -zgQ и, следовательно, г = 0. Обратно, если PHQ = O и г = «і + Уі = «2 + У2 при Uu U2^P И V\, r2 t= Q, то «і — Ui = V2 — V\. В левой части — вектор из Р, в правой — вектор из Q, следовательно, это — нулевой вектор и щ = и2, ui = и2. Сумма P 4- Q прямая.
Предложение 3. Для того чтобы сумма P +Q была прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов PuQ составляло базис P + Q-
Ясно, что объединение базисов PhQ порождает P + Q. Далее, выражая через базисы PhQ векторы кеЯ и v е Q в равенстве м -f- V = 0, мы получим равную нулю линейную комбинацию векторов объединения базисов P и Q, и она может быть только три-
310
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГГЛ. XtI
виальной в том и только в том случае, когда объединение базисов. PhQ образует линейно независимую совокупность векторов.
Понятие суммы подпространств естественно распространяется на любое конечное число слагаемых подпространств. Именно, суммой Pi-J-P2-T ¦¦¦ + Pk называется множество сумм U\ + и2 + ... ... + Uk при иієрі. Ясно, что, сумма подпространств есть подпространство. Оно порождается объединением базисов слагаемых подпространств. Сумма подпространств называется прямой суммой, ЄСЛИ Представление ЄЄ ВеКТОрОВ в ВИДЄ U\ -(-«2+ ••• + Ub,
Ui єн Pi, однозначно или, что то же самое, из равенства ut+u2 + ... ... -\-ик = 0 при м,-е P1- следует, ЧТО w, = 0, 1 = 1, .... k.
Заметим, что можно определить сумму бесконечного множества подпространств Р„ і єн I, как множество конечных сумм векторов из пространств P-,. Понятие прямой суммы естественно раст пространяется на случай бесконечного множества подпространств, но оно имеет смысл только для бесконечномерных подпространств.
Предложение 4. Для того чтобы сумма Pi + P2 + - - • + Pk была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение каждого из подпространств Pi с суммой остальных состояло только из нулевого вектора.
Действительно, если сумма прямая и вектор г принадлежит Pt и сумме остальных слагаемых подпространств, то г — ui — ... ... — Wi-! — Ut+I — ... — ик = 0 и 2 = 0. Обратно, если при всех і пересечение Pi с суммой остальных подпространств есть нулевой вектор, то из равенства и\ + ... + w;_i + «; + «н-i + ... ... +Uk = O следует щ: = — Ui — ... — Ui-i — Ui+i — ... — ик\ откуда Ui = 0.
