Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивость экспоненциальная (§ 8). Из неравенства
(4.16.11) следует также единственность ограниченного на оси lt решения
т] (?) (ср. конец доказательства леммы). Таким образом, система (4.16.9)
- конвергентна.
Следствие 1. П усть
¦$T=f(t) + g(y), (4.16.12)
где f(t) (It) и g(y) причем J (у) = g' (у) - матрица
Якоби.
Если
1) sup jlf(t) j| < оо;
t
2) наибольший из характеристических корней Л (у) симмет-ризованной
матрицы Якоби
Jsiy)=^[J <y) + Jr(y)]
удовлетворяет неравенству
Л (У) *?_<*<о (у €<*%), где а - положительная постоянная, то система
(4.16.12) обладает свойством конвергенции. Следствие 2. Пусть
-4jL=.A(t)y+f(t), (4.16.13)
где A (t), f(t)?C(It).
Если
1) "up il fit) I! < °°;
t
2) наибольший из характеристических корней Л (t) симметри-зованной
матрицы
л,(0=4 и (0 + Л7 {т
удовлетворяет неравенству
Л(0^-<*<0 (*?/,),
где а - положительная постоянная,
то система (4.16.13) обладает свойством конвергенции.
? 17] ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 289
§ 17. Диссипативные системы
Рассмотрим действительную нелинейную систему
(4-1J-1)
где f(t, у) ^ С (lt X е^у), причем обеспечено свойство единственности
решений у (t; tu, >>").
Определение 1. Следуя Левинсону (см. [50]), систему
(4.17.1) будем называть D-системой или диссипативной, если все решения
ее у (t; t0, у") бесконечно продолжаемы вправо и существует число R'^>0
такое, что
lim||y (t; t0, yo) \\<R- (4.17.2)
t -*• CO
Иными словами, для каждого решения у (t; t0, _у0) существует момент ti =
to-\-T (to, yo)^to, после которого оно навсегда погружается в
фиксированную сферу т- е-
!|.У(*; *о, Уо)\\<Я при ^<*<oo.
Заметим, что если система обладает свойством конвергенции (§ 16), то она
диссипативна. Здесь за сферу Ц.у||<^ можно принять любую сферу,
содержащую единственное ограниченное решение т] (t).
Решения диссипативной системы иногда называются предельно (финально)
ограниченными (см. [41]).
Пусть
v it, y)?C&"(Z),
где Z = {* ltXy <EDy\.
Определение 2. Будем говорить (см. [41]), что V (t, у) обладает свойством
А в области Z, если, существует положительная непрерывная возрастающая
функция а (г) (г^О) такая, что'
V (t, у)^а(\\у ||) при (t,y)?Z. (4.17.3)
Говорят, что V (t, у) обладает свойством В в области Z, если
существует непрерывная неубывающая функция Ь(г) (г^ 0) та-
кая, что
V (t, у)^Ь(\\у\\) при (t,y)?Z, (4.17.4)
причем Ь(г)->-\- со при гоо.
Наконец, будем говорить, что V (t, у) обладает в области Z свойством С
относительно данной системы (4.17.1), если существует положительная
непрерывная функция c(r)"(r^s 0) такая, что
V {t, У)^~ c(S|xii) при-(i, y)?Z, (4.17.5)
10 Б. П. Демидович
290
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
где V (t, у)- полная производная по t функции V (t. у) в силу системы
(4.17.1).
Теорема Йосидзавы (см. [41]). Пусть во внешности некоторого цилиндра
х Zc = {t?It}X\yeS'f},
где = {!|_у |j Зг р}, для системы (4.17.1) существует функция Ляпунова V
(t, 3;) ё. С'^'у (Zc), обладающая свойствами А, В и С. Тогда система
(4.17.1) равномерно диссипативна относительно начального момента tg, т.
е. число Т (to,yo) можно выбрать зависящим только от у0.
Доказательство. Из условия В вытекает, что при у i^Pi, где pj 3^ р
достаточно велико, функция V (t, у) является полср-жительной. Так как по
смыслу теоремы вместо числа р, очевидно, можно взять число рь то в
дальнейшем мы будем предполагать функцию V (t, у) положительной в Z°.
Рассмотрим решения y(t)=y(t; t0, у0) с начальными условиями It и j|_y
(tn) |j р-'
Покажем, что эти решения равномерно ограничены в совокупности.
Действительно, промежуток существования [/", Т) решения у (t) можно
разбить на два множества:
[t" T) = Ti + Tit
где Tt (г = 1, 2) - совокупность всех моментов из [/", Т), для которых
решение y(t), соответственно, принадлежит области ||_yi|s^p при 1=1 и
области |_У||^>Р при i - 2. Если то,
очевидно, имеем
1у(0Нр. (4.17.6)
Если множество Тг пусто, то тем самым наше утверждение доказано. Пусть
Т.2 не пусто. Тогда, так как область ||.у|^>р есть открытое множество, то
в силу свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) Т.1 является
также открытым множеством и, следовательно (см. [51]), представляет собой
конечную или счетную сумму интервалов
т.2= и (с д,
а 1
где ||j> (О Ц = р, Ц.У (*р)! = Р и Р = Р(а)- Отсюда, если t?T,_, то t ?
(t*> tr) для некоторого а (рис. 46) и, учитывая монотонное
убывание'функции V (t, у (t)) при возрастании t, а также свойства В и Л,
будем иметь
b(}\y(t)l)^V(t, y(t))^V(ta, y(ta))^a(\\y(ta)!i) = a(p). (4.17.7)
Так как b(r)-*- со при г-*- со, то существует ??;з=р^>0 такое, что
6(г)>а(р) при r'^sR.
s; 17| ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 291
В гаком случае на основании неравенства (4.17.7) получаем
Ну (О II < я при r?Ts. (4.17.8)
Из неравенств (4.17.6) и (4.17.8) вытекает, что
|у(0!<Я при /0^</" + 7\ (4.17.9)
Отсюда следует, что решение у (t) - у (t; t0, у о) бесконечно продолжаемо
вправо, т. е. Т - оо, причем для всех /0 G Л и13'о|Кр имеет место
неравенство (4.17.9), где R зависит только от р.
