Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда, учитывая, что
X(t) = A(t)X(t),
получим
^t = Dz-\-g{t, z), (4.13.6)
где
g(t, z) = eDtX~x{t)f{t> X[i)e-Dtz). (4.13.7)
Как известно,
где
Д (t) - det X (t)
и Д/7; (t) - соответствующие алгебраические дополнения определителя Д
(/). На основании формулы Остроградского - Лиувилля, учитывая, 410
Д(/0)=1, находим
t
j Sp А 11 dti
Д (t) =е*<>
? 13] ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 273
Следовательно,
I
- J Sp A (Cl) dti
X-l(t) = [bk,(t)e '" J
Отсюда
t
- J Sp Д Ui! dt-i
X \е°'Х~л (t) 1 = x l^r+v ' (t) e ^
t
... .If
.max
k
1"У-ГT + - "/ - limy ( Sp A(tl)dtA = Y.^r^ (4.13.8)
'> t->oo J
X[X(t) e-0'] = X {[Xik (t) e - V+ t> ¦']} ^
sSmax[%~(a* + i)] = -i. (4.13.9)
/, *
Так как
XlX(t)e-^]C 0,
то
X (t)e~Dl -+0 при t^^oo. (4.13.10)
Следовательно,
|| X (t) e~Dt || M оо при t,) sS t oo.
Положим
ii ^ h
I;'2':! < M-
Тогда на основании формулы (4.13.5) получим \у . . X (0 с п' z • ' Д(
д'; •-
Оценим нелинейный член в правой части уравнения (4.13.6) при 2 [j дЛ|-.
Используя условие 1), имеем
gH. z)^\\eD'X-'(t)\\\\f(t, X(t)e-*z)\\^
X-• (t) [j К <(" (t) 111| X(t) e~ D' \;m II г Г = ? (t) 1! г !Г,
(4.13.11)
где в силу неравенств (4.13.8) и (4.13.9) и свойств характеристических
показателей справедлива оценка:
у [? (01 = •/.[" eDl X(t)!! I! ф (t) || || X (t) e(tm) ||m] ^
~1~ T -|-0 - пц - у. - (m - 1 )y.
274 второй метод Ляпунова [тл. iv
Отсюда на основании неравенства (4.13.4) получаем
ХЫО] "последовательно,
|)g-(/, г) ;i \z Г (m> 1) при t0^t <--оо и ;|,гН<^-.
(4.13.12)
Таким образом, нелинейная система (4.13.6) удовлетворяет условиям теоремы
Ляпунова об устойчивости квазилинейных систем (§ 10) и, следовательно,
тривиальное решение ее z - 0 асимптотически устойчиво при / ->- + оэ. В
силу формулы (4.13.5) и неравенства (4.13.9) это будет верно также для
тривиального решения = 0 исходной нелинейной системы (4.13.3).
Следствие. Для характеристических показателей решений У it), где
!|.y(^o)i! достаточно мала, справедлива оценка:
/[j/(01<maxaj. (4.13.13)
h
Действительно, из формулы (4.13.5), учитывая неравенство (4.13.9) и
ограниченность функции z(t), получаем
х\у т-
А так как число - i можно брать сколь угодно близким к шах гк}
k -
то справедливо неравенство (4.13.13).
§ 14. Неограниченная продолжаемость решений
Рассмотрим действительную систему
У)' (4.14.1)
где
/<*, у) 6 с% 11 (Jt х <&;).
Для произвольного решения y(t)=y(t\ t(h _у") (4 ?/Г) справедливы две
возможности: 1) либо у (t) имеет смысл на бесконечном промежутке [/",
оо); тогда оно будет неограниченно продолжаемым вправо; 2) либо у (t)
определено лишь па некотором конечном промежутке /" t <[ Т со.
Лем м а. Если решение у (t) имеет конечное время определения t"^t<:T со,
то
ПД' (0 П -со при t^-T - 0.
Доказательство. Пусть у (t) || -/> со при t -Г -¦ 0. Тогда существует
последовательность tk -> Т - 0 такая, что у (/*) -*¦ г ж
НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ
275
при 1г-*-оо. Рассмотрим решение z (t) = z (?; Т, г) (рис. 42),
определенное, согласно локальной теореме существования решений (см.
[11]), в некотором интервале
(Т - я, Г-j-а) (я^>0),
В силу свойства единственности решений, при tk^>T----------------~
имеем
yit\ th, у {th))=y {L\ t0, у0)
к
z(t; tk, z{tk)) = z{t\ T, z).
Так как y(tk) может быть выбрано сколь угодно близко к г и то при
достаточно большом k точки у (tk) и z(tk) сколь
угодно близки между собой (см, рис. 42). А тогда на оснований свойства
интегральной непрерывности (гл. II, § 1) получим, что решение у {t\ t0,
_у0) определено во всяком случае на промежутке
^ "Ь у )Z) ( 7\ ТА это противоречит максимальности
промежутка [/0, Т) существования решения у (t) при t^t0. Таким образом,
1\ у (t)'{<->-со при t^*-T - О,
Лемма доказана.
Следствие, Если решение у = у (t\ t0, у0) ограничено в своем максимальном
промежутке существования t0^t <^t0-{-T, то оно бесконечно продолжаемо
вправо, т. е. Т = со.
Неограниченная продолжаемость вправо решений системы
(4.14.1) является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений
этой системы. Используя функции, аналогичные функциям Ляпунова (§ 5,
замечание 2), можно получить л оста т о чные условия неограниченной
продолжаемости при t-*--j-oo решений системы (4.14.1).
276
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
Следуя Ла-Саллю [45], рассмотрим дифференциальное неравенство
vrs^G(t, v) (t^t0), (4.14.2)
где G(t, v) - некоторая непрерывная скалярная функция, определенная
при г'Зг г'о и a v = v(t) - непрерывно диффе-
ренцируемая положительная скалярная функция.
Будем говорить, что решение v(t)(^Cl неравенства (4.14.2) имеет
конечное время определения U*SLt<^T, если: 1) v(t)^
ezG(t, v) при и
2) I v (t) jj -> оо при t-*-T - 0.
Теор.ема Ла-Салля.
Пусть
Уп
y(t,), (SP
vv/ZK
w k
Рис. 43.
внешность сферы радиуса р и
v(t, y)?(%"(itxs'f),
причем V (t, у) оо при Цу ||-> оо, равномерно на каждом ко-t
нечном промежутке (a, b) (Z I*.
Тогда, если
1) производная V (t, у) по t в силу системы (4.14.1) при t75?t0 и У Sр
