Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
у V2,
;=1 ft=l
где p(t,y) = 0(s) (т. e. p (t,y) - величина порядка e, равномерна
относительно t и у) в области (4.10.17), Полагая
р = min (Re jj. у, - Re (j,m+ft),
/, k
при достаточно малом е]>0 находим
V(y)3HP-|p(f, y)ll \\y\f^^\\yr^VV(y).
Следовательно, при ^ = 0 и I7 (jV (0)) 0 получаем
V(y(t))^V(y(0))eV,
т. е.
|| у (0|Г2^21/(з"(0))^, (4.10.20)
если только
||jr(0 ||^е-" \\Srlh(B).
Пусть 8^>0 произвольно мало. Выберем у (0) так, чтобы выполнялись
неравенства
о <11 У (0)11 <8, v Сзг(0))>0
(этого можно добиться, положив, например, ym+k = 0 (k - \, ... ..., п-
т)). Тогда из неравенства (4.10.20) вытекает, что существует момент ^>0
такой, что
IIЯ^) II Sse-1*'1 || S|r*A(e).
Возвращаясь к прежней переменной x = x(t), в силу формулы (4.10.15) будем
иметь || л:(0) || sg || S || || у (0) || || S || 8 и
|| X (ft) II: II у (ti) II 3s ЩЦ h (&),
где г^>0 фиксировано. Так как 8]>0 произвольно мало, то отсюда следует,
что тривиальное решение л; = 0 квазилинейной системы (4.10.14)
неустойчиво по Ляпунову при t-y со.
Теорема доказана.
¦I ill ОЦЕНКА МАТРИЦЫ КОШИ ДЛЯ ПРАВИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 265
§ 11. Оценка матрицы Коши для правильной системы
Пусть действительная линейная система
где
dx
dt
- A (t) х,
(4.11.1)
A(t)^C [4, оо), sup || А (t) [| < оо, есть правильная (гл. III, § 10) и
X(t) = [xJk(t)\ (4.11.2)
- ее нормальная фундаментальная матрица. Обозначим через аь ..., а"
характеристические показатели решений
х^1 = colon [Хц, (t), ..., xnk{t)] (k=\, ..., п),
входящих в фундаментальную систему (1). Полагая
A = diag(a1.......ап),
будем иметь
Ф (^) = X (t) е~м
~xnit)e-"i< . . xin(t)e~V '
Xmitje-^ . .. хп"У)е-'"'_
Отсюда
X. [ф (01 = гпах t [X}k (t) е a*']=0. /. *
(4.11.3)
Аналогично, учитывая, что в силу теоремы Перрона (гл. III, §11) для
обратной матрицы
ее векторы-строки
Уи' = [Ул(*), ..., yjn(t)] имеют характеристические показатели у[_у(/>] =
- ау-, находим
~e^yn(t) ... e^fyln(t)
Ф 1 у) = е*Х~1 (t) =
Jn'У т (t) ...e^ у nn (t)_
У [Ф 1 (^)] = шах у [e*'1 уjk (*)] =0.
/, h
Рассмотрим теперь матрицу Коши
K{t, ч.) = Х {t) X 1 (,)
(4.11.4)
266 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. !V
в области ?0 т t (рис. 39). Очевидно имеем
К (t, т) = X (t) е- ;Л е1 ~ -^ех*Х~1 (т) = Ф (t) е'г л Ф~1 (т).
(4.11.5)
Отсюда, учитывая равенства (4.11.3) и (4.11.4), получаем
||/((/,,) || йс || Ф (/) || || || ;!Ф-" (т) || ^
-- / - ? \ t
е * ^ '2' 1 е"1 = ce[a + -'iit ~'-'е^, (4.11.6)
где о = max аА, е^> 0 произвольно и с - положительная посто-ft
янная, зависящая только от е и Пусть
ос^>а = тах а,,,. к
Тогда е^>0 можно выбрать столь малым, чтобы имело место неравенство
а + е<Са>
и из неравенства (4.11.6) при получаем
II К т) II - < (/")(¦" •' V.
Следствие. Если все характеристические показатели aft правильной линейной
системы (4.11.1) отрицательны, то для ее матрицы Коши при /0 - с т ¦ /
справедлива оценка:
Рис. 39.
|| К U, т) || -<с (/0) еЕТ, где е - любое положительное число.
(4.11.7)
§ 12. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
Рассмотрим действительную нелинейную систему
clx
1ft
= A х),
(4.12.1)
где
А (7) $ С 1/(Ь оо); sup || А (i) || < со, и /(/, х) С С? 11 t
:t"- /< . || х !| о.
причем
,1,/(Л jc) !| (0 || jc Г (ту 1)
(4.12.2)
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
267
и 'у (t) - непрерывная положительная функция при такая, что1)
Норма матрицы A=[ajk\ здесь понимается в смысле I нормы
Теорема (критерий Ляпунова). Если система первого приближения
правильная (см. гл. III, § 11) и все ее характеристические показатели 1/,
(k = l, ..., п) отрицательны, причем выполнено условие нелинейности
(4.12.2), то тривиальное решение х - 0 полной нелинейной системы (4.12.1)
экспоненциально устойчиво по Ляпунову при t -* сю.
х!Ф(01=о.
(гл. I, § 4):
[[ А [| = max У а;!, .
k
(4.12.3)
Рис. 40.
Доказательство (см. [14]). Пусть
"с - а0 (k=\, ... , п).
В системе (4.12.1) выполним преобразование
(4.12.4)
(4.12.5)
где 0<^7<Са (рис. 40). Тогда будем иметь
(4.12.6)
где
B(t) = A (t) -f- -\Е
(4.12.7)
и
g(t, у) = е"1 {t ~'o'f (t, уе ~1 (* ~ (|>'),
(4.12.8)
При формулировке Ляпунова f(t) - положительная постоянная.
268 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
причем
X(t") - y (to) И g(t, у) '\t^t <^со, I! у II </ief'*-'">).
Легко видеть, что для системы (4.12.6) система первого при* ближения
Й = Я(0П (4-12-9)
правильная. Действительно, пусть $k(k=l, ..., п) - характеристические
показатели линейной системы (4.12.9). Очевидно,
Р* = а*"Ь Т^ (&-1, п)-
Учитывая правильность системы (4.12.3) и формулу (4.12.7), имеем
Г
Нцп К \ Sp В (ty). dti =
/ч ОО 1 Р
Следовательно, система (4.12.9) правильная.
Пусть Н (t) (Н (t0) - Е) - нормированная фундаментальная матрица системы
(4.12.9) Используя метод вариаций произвольных постоянных, нелинейное
дифференциальное уравнение (4.12.6) при начальных условиях: y(t0) = х0-
можно заменить равносильным интегральным уравнением
t
у (0 = и (t) у (to) -f- \К (t, x)g (т, у (т)) dx, (4.12.10)
*0
где
ка, т) = н(он-*(-).
