Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
функция v'\0> дифференцируема в точке v'f=...= = v"n =0, причем уравнение
касательной плоскости Q в этой точке выражается линейной частью:
\{а.и ..., ап) о ( IJ а || )
и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь
'HZ2", •••. Zn') = 0(r),
(4.20.38)
где
vT
V (0) = :
V'n.
И
v(t) = p(t) + z(t) v(0)=p(0) -f- г (0) = г(п),
то уравнение (4.20.37) имеет вид
П
у1в>=2 kjvJ'+tyiv'f, ..., VT), (4.20.39)
4,(0, ..., 0) = 0.
lim [v (() - р (/)] = 0.
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ВИТТА
311
Обозначая через 9 угол между единичным вектором п нормали к плоскости Q в
точке О' и вектором /?(0) = е1 [| /? (0) || , из уравнения (4.20.40)
будем иметь
' , п
cos ф = ---9^ 0.
У\ +Й1+--+П
Следовательно, периодическая траектория v0=p (t) пересекает поверхность
S, не касаясь ее, и, значит, переходит с одной стороны поверхности на
другую. А так как поверхность S непрерывна и задана явным уравнением
(4.20.39), то близкие к ней траектории v - v(t) при возрастании или
убывании t имеют с поверхностью S общие точки.
3) Пусть для некоторых t9 и tx решение v(t) системы (4.20.21) в
системе координат O'v 1 ... vn удовлетворяет неравенству
||(r)(М- P(U) || <А
где Д - некоторое достаточно малое положительное число. В силу
автономности системы (4.20.21) вектор-функции
Vi(t) = V(t + tl)
Рв (t) -р (t -)- tB)
также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство
II 14(0) - /?о (0) || <Д. (4.20.41)
Для периодической траектории v"=P"(t) (^о) в точке ^ = 0 построим
непрерывную поверхность со свойствами, аналогичными свойствам поверхности
S, которую траектория La пересекает без касания при ^ = 0. Следовательно,
близкие к ней при t = 0 траектории v1 = v1 (t)i удовлетворяющие
неравенству (4.20.41), где Д достаточно мало, также пересекают
поверхность S" при t возрастающем или при t убывающем в некоторый момент
t. Так как траектория v"=Po(t) не вырождается в точку, то момент t можно
выбрать равномерно ограниченным для траекторий, подчиненных начальному
условию (4.20.41), т. е.
*|*?Т(Д),
:ительное ч
v (t) = v, (t +1) = v (t -h ti 4-1),
где T (Д) - некоторое положительное число. Отсюда, полагая
получаем
(r)(0) = Wi (i)6S0.
312
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
В силу свойства поверхности S0 имеем lim || v(t)-pa(t) || =0,
т. е.
lim || v (t -f- tt -f-1) - pit U) (I -0.
Отсюда находим
lim || v (t -j- c) - p (t) || =0,
где
с- tl -1{) t
- предельная фаза решения v(t). В частности, если tx = t0. то
Возвращаясь к старым координатам уи ..., уп, получим, что соответствующее
решение y=y(t) системы (4.20.21) удовлетворяет условию (4.20.23).
Так как величина t может быть выбрана равномерно ограниченной в каждой
начальной окрестности (4.20.41), то решение 4 (t) является орбитально
устойчивым, причем в силу наличия предельной фазы эта устойчивость
асимптотическая (см. лемму 2 из §19).
Теорема доказана полностью.
Для сравнения приводим формулировку теоремы Андронова - Витта (см. [52а],
[10]).
Теорема Андронова - Витта.. Пусть ">-периодическое решение i] (t)
автономной системы (4.20.21) не сводится к тождественной постоянной (ц
(t) ф 0), причем уравнения в вариациях для этого решения имеют один
простой нулевой характеристический показатель, а все остальные
характеристические показатели обладают отрицательными действительными
частями. Тогда решение г] (t) устойчиво в смысле Ляпунова при t-*¦ со.
§ 21. Признак Пуанкаре
Рассмотрим автономную скалярную систему
c = t.
(4.21.1)
где Р(х, у), Q(x, у) ? С1. Пусть система (4.21.1) имеет ш-перио-дическое
решение
l = n = ii(t), (4.21.2)
S 21] ПРИЗНАК ПУАНКАРЕ 313
траектория которого на плоскости Оху не сводится в точку: 140' + h(0 \ Ф
0. Тогда соответствующая система в вариациях
я; (чо, ч(0)"+р'у (40, ч(0)]
* (4-2L3) ^ = Q.v(40, ч(0)" + <3у (40, J
допускает нетривиальное w-периодическое решение
" = 40, v = ri{t).
Пусть X (t) (X (0) = Е) - нормированная фундаментальная матрица линейной
системы (4.21.3). Мультипликаторы рх и р2 этой системы являются корнями
уравнения
det [X (ш) - р?] = 0.
Отсюда
р2 - р Sp X (ш) -|_ det X (ш) = 0.
Так как система в вариациях (4.21.3) имеет нетривиальное "-периодическое
решение, то в силу леммы 1 (§ 19) один из ее мультипликаторов
Pi = 1.
Отсюда по свойству корней квадратного уравнения имеем
р2 = det X (").
Но в силу формулы Остроградского - Лиувилля, обозначая через A (t)
матрицу системы (4.21.3), получим
det X (ш) = det X (0) exp J Sp A (t) dt =
о
= exp][P'x(H {t), ni(0) + Qi(" (t), -n(tmdt.
0
Поэтому справедлив признак Пуанкаре: если
x = -i§lpH40, 40) + 0ИЧ0, v(0)]dt<0, (4.21.4)
то
0<р2<1
и периодическое решение ? = 40, т) = т)(0 асимптотически орби-тально
устойчиво, т. е. траектория его является устойчивым предельным циклом
(см. [52]) и близкие к нему решения обладают асимптотической фазой.
314 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
§ 22. Условная устойчивость
Определение. Говорят, что решение | =; (t) я-мерной дифференциальной
системы
х) (4.22.1)
