Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
или
g = A* + (r)-'(f)r(f, Ф (*)*), (4.18.7)
где
Ф-1 (t) г (t, ф (<) г) n п
--- .>. -0 при г -*¦ 0.
I!2 ll t v
Отсюда на основании теоремы Ляпунова для квазилинейных систем (§ 10)
заключаем, что тривиальное решение 2 = 0 системы
(4.18.7) асимптотически устойчиво, что в силу формулы (4.18.6)
эквивалентно асимптотической устойчивости периодического решения Т| = Т|
(t).
§ 19. Орбитальная устойчивость
Рассмотрим действительную автономную систему
f =/№. (4.19.1)
гае/Су) 6 С <|Я<Я).
Определение l.-Если y=y(t) (a<^t<^b) есть решение системы (4.19.1), то
совокупность точек L={y(t): t (а, Ь)\ фазового пространства <Мпу
называется траекторией решения.
Траектория L представляет собой проекцию интегральной кривой у -у (t)
пространства lt X в пространство <М", где время t играет роль параметра.
Так как система (4.19.1) автономна, то наряду с решением у -у (t) она
допускает семейство решений ус = у (tс) (- оо<^с<^-\-со), которые,
очевидно, обладают одной и той же траекторией.
296
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
Под р (z, L), как обычно, будем понимать расстояние точки z (Е до
множества L с= ef", т. е.
Р (z, L)= inf || г- .у! yei
В дальнейшем для решения у=у№) <С°э) иногда придется рассматривать
множество точек L+={y(t): со},
которые будем называть положительной полу траекторией. Аналогично
определяется отрицательная полутраектория /_~ =
- со}.
Определение 2. Решение т| = т| (^) (t0s^t<^ со) системы
(4.19.1) называется (см. [52]) орбитально устойчивым при t-*- со, если
положительные траектории L+ всех решений у =у (t) (t" sS t <[oo),
достаточно близких в начальный момент t0 к решению к] (г), в дальнейшем
целиком содержатся в s-окрестности положительной полутраектории L"
данного решения т) = щ(Г),
где е^>0 произвольно мало (рис. 47), т. е. для любого е^> 0 существует 8
= S (е, 4)^> 0 такое, что если
1Я*о)-'Ч (*")!< 8, (4.19.2)
то
р(У(1), при t^ta. (4.19.3)
Замечание. В силу свойства интегральной непрерывности наличие орбитальной
устойчивости решения t] (t) (a<^t<^ со) не зависит от выбора начального
момента t0 (о, со), поэтому она эквивалентна орбитальной устойчивости
траектории.
Более того, если решение щ (t) орбитально устойчиво и для решения у (t)
при t=tl^(a, оо) выполнено неравенство
Ц.У (*i)- II <8.
$ 19] ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 297
где 8 - число, определяемое неравенством (4.19.2), то при имеет место
неравенство (4.19.3).
Действительно, полагая
у (0 -у (t - t" h)
и учитывая, что_у (t) - также решение автономной системы (4.19.1), будем
иметь
I!у (to) - Л (to) I! = \\У (*i) - Л (to) II < 8;
отсюда
Р(У(0, ^o)=p(y(t - to~\-tl), Zi+)<e при t^st0,
т. e.
P(y(t), ij)<s при t^tb
Определение 3. Орбитально устойчивое решение i] (t) называется
асимптотически орбитально устойчивым, если существует Л(|^>0 такое, что
для всех решений у (t), удовлетворяющих неравенству
\\У (to) - Л (to) |< до, (4.19.4)
выполнено предельное соотношение
Р(У(0, Ь о)-* 0 при t > со.
Таким образом, если Щ - замкнутая орбитально устойчивая траектория, то
достаточно близкие к ней при t = t0 траектории h+ навиваются на нее при
t-> со.
Замечание. Из устойчивости решения, очевидно, следует его орбитальная
устойчивость. Но из орбитальной устойчивости решения, вообще говоря, не
вытекает устойчивость его по Ляпунову, а тем более асимптотическая
устойчивость.
Пример 1. Рассмотрим скалярную систему
йЛ = х *1=о dt ' dt
Полагая х" == х (0), _у0 = у (0), будем иметь
х = х0е', у = у0 ( -оо << с + оо).
Траекториями на плоскости Оху здесь являются:
а) правые полупрямые у = у0, х > 0 при л:о>0;
б) левые полупрямые у =у0, х<0 при лг0<0;
в) точки х ==0, у =у0 при л:о = 0.
Очевидно, любое решение x - x(t), y-y(t) данной системы неустойчиво по
Ляпунову при'? - оо. Однако траектории типов а) и б) орбитально
устойчивы.
Пример 2. Пусть т)(?) - периодическое решение с периодом ш(ш>0)
автономной системы (4.19.1), не сводящейся к постоянной (ii(i)^0). Тогда
такое решение не может быть асимптотически устойчивым.
298 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
Действительно, полагая, что
Уь W = Л (^~Ь ^)>
так как ц'(^0)^0, то при любом достаточно малом 8 > О будем иметь
!!.У"(*о) -П(*о) !! = Л>0.
Отсюда, учитывая ш-периодичность решения Т) (t) при произвольном Г> О,
получаем
sup IIJ'jW - Л (0 || = Л > О
t> Т
и, следовательно, _у5 (0 - т) (/) -АО при t-* со. Однако орбитальная
устойчивость периодического решения т) (t) и даже асимптотическая
орбитальная устойчивость могут иметь место.
Лемма 1. Если автономная система (4.19.1) имеет нетривиальное ш-
периодическое решение т| (/), то для соответствующих уравнений в
вариациях
dft=fx(4(t))-x, (4.19.5)
представляющих собой линейную периодическую систему, по меньшей мере один
из ее мультипликаторов р = 1, т. е. по крайней мере один из
характеристических показателей системы (4.19.5) является нулевым.
Доказательство. Согласно лемме из §18 система (4.19.5) допускает ш-
периодическое решение
* ^ Л (О Ф 0.
Поэтому периодическая система (4.19.5) имеет по крайней мере один
