Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь произвольное решение y(t)-y(t\ t0, y0)r где j!_y
(/о)||^>Р (рис. 46). Покажем, что и в этом случае при t ti (t, ^о)
неизменно обеспечено неравенство (4.17.9).
Прежде всего, заметим, что если для некоторого момента времени tl /0
будет выполнено неравенство
t0, уо)|^р,
то в силу свойства единственности имеем
y(t; t0, y0)=zy(t\ tu y(ti, to, Уо)).
Отсюда на основании неравенства (4.17.9) получаем
IIy(t; to, yo)i<R при c^ti. (4.17.10)
10*
292 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
Поэтому достаточно предположить, что |.У(0||^>Р при t^t0.
Но тогда в силу свойств Л, В и С имеем
ь (Ь (О ID < V (t, у (t)) -sS V (t0, Уо) "? а (||^01|) при 12s t0
и
ьН>а(\\Уо\\) при r^R^R,
где Ri достаточно велико. Отсюда получаем
ly(t)'l<Ri при t^to,
где /?i зависит только от у0, т. е. любое решение у (t\ t0, у о)
ограничено на [?", сю), равномерно относительно начального момента to и,
следовательно, бесконечно продолжаемо вправо.
Покажем, что для некоторого момента ti^>tu будет справедливо равенство
ILyft; 'о, .Уо)|| = р. (4.17.11)
Действительно, пусть
р<||>' (*; *о, .Уо)||<#1 при t'^to. (4.17.12)
Положим
inf с (г) - ~{^>0.
Р 5S Г Rt
Тогда, учитывая неравенство (4.17.12), в силу свойства С будем иметь
v (t, у (t; to; Уо)) =?2 - т при t Ss to. Следовательно,
V (t; У (t; to, Уо)) ss V (t0, Уо) - Т (t - t0) при 15s t0. (4.17.13)
Из неравенства (4.17.13) вытекает, что при достаточно большом t функция V
(t, у (t)) становится отрицательной, причем (t, у (t))(^ Sp, что
противоречит предположению. Таким образом, решение У (t; t0, уо) не может
для всех t^t0 удовлетворять неравенству
(4.17.12) и, следовательно, при некотором 0 ^>4 выполнено равенство
(4.17.11). Отсюда на основании приведенных выше рас-суждений вытекает
наличие неравенства (4.17.10). Итак, система
(4.17.1) диссипативна.
Оценим момент Полагая
P<b№ to, y"H<Ru
из неравенства (4.17.13) выводим
/ " / I у (t°' -Уо) - v У (t))
^ h т sup----------------------.
о К
3 IS] УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ 293
В силу свойства А имеем
V (to, УоХ а (|^о 1)< a (RJ.
Кроме того, на основании свойства В получаем V(t,
Поэтому
h ^ + Т (Уо).
где
Т(Уо)< и ^ = ^(1^11).
Так как число Г(_у0) не зависит от начального момента t9, то
диссипативность системы (4.17.1) равномерна но t0,
Замечание. Можно ослабить условия гладкости для функции Ляпунова V ((,
у). А именно, для справедливости теоремы достаточно требовать, чтобы
V(t, y)?Ct(Z'f) П Lipy(Zl).
В этом случае производную V (t, у) в силу системы (4.16.1) можно
определить формулой
V(t,y)= Йш j[V(t-^h, y-}-hf(t, у)) - V (t, у)).
Л-. + 0 п
Легко проверить, нто V (tn, у0) представляет собой верхнюю правую
производную по t функции V (t, у (t; t0, уа)) в точке t = t0.
§ 18. Уравнения в вариациях
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
%=f(t, У), (4-18.1)
где /(*. у) € Cg'11 <Z) и Z = {#"^X">. !!-У Кн\-
Пусть щ = щ(/) оо) - решение системы (4.18.1), удов-
летворяющее условию: 1 к] (0|| =s=/X Я. Положим
x=y - r\(t).
Тогда будем иметь
Ч (9+ *)-/(*, 4(0). (4-18.2)
Отсюда, применяя теорему о среднем, получим
294
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. ! V
где r(t, х) = о (!; XI) при равномерно по t на каждом ко-
нечном отрезке [/0, t0JrT] (Т~^>0). Линейная система
§=Л'(*, Л (*))*, (4-18.4)
представляющая линеаризированную систему (4.18.3), называется уравнениями
в вариациях (см. [35], [28]) для системы (4.18.1) относительно ее решения
т] (/) (система первого приближения). Заметим, что если данная система
линейная
%*=A{t)y+f{t),
то ее уравнения в вариациях совпадают с соответствующей однородной
системой
% = A(t)x.
Лемма. Если система (4.18.1) автономная
$-/№
и 7j = 7j (t) есть ее решение, то
¦* = Л(0
является решением ее уравнений в вариациях.
Доказательство. Дифференцируя по t тождество
Л (0=/(Л (0),
будем иметь
Si [Л (01 =/я (Л (0) Л (0,
что и доказывает утверждение леммы.
Предположим теперь, что f(t, у) w-периодична по t и исследуемое решение
i] (t) также периодично и имеет период ю. Тогда уравнения в вариациях
(4.18.4) представляют собой линейную систему с периодическими
коэффициентами.
Теорема Ляпунова. Если все характеристические показатели Ху уравнения в
вариациях для данного периодического решения т] (/) имеют отрицательные
вещественные части, то это периодическое решение асимптотически устойчиво
при t -> со.
Доказательство (см. [28]). Согласно теории Флоке (гл. III, § 15) система
(4.18.4) имеет нормированную фундаментальную матрицу вида
Х(*) = Ф (*)<?", (4.18.5)
ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
295
где Ф(0 - "-периодическая матрица и Л - постоянная матрица, причем
характеристические показатели Хь ..., являются собственными значениями
матрицы Л.
В нелинейной системе (4.18.3) сделаем замену переменной
л;=у - т] (t) = Ф (t) г. (4.18.6)
Тогда, учитывая, что
Ф (t) = ~{X [t) е~ м] = X [t) е~ м - X{t)e~MA =
=fy(t, i[(t))X(t)e-*-X(t)e-"A=f9(t, ц (t)) Ф (t) - Ф (t) А, будем иметь
/7 "
Ф (t) Jt + If у (t, Т] (0) ф (0 - Ф (<) Л] * =
=Л'(<, ч (0)Ф(0 " + ''(<. Ф(0")
