Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
и дифференцируя по параметру t, используя свойства 1) и 2), находим
у {t) = X (t) а -)-
4-lG(^. t - 0) - G(t, ^ + 0)]/(0+ J Gt(t, s)f(s)ds =
(I
CO
= P(t)X(t)a+f(t)+\ P (t) G (t, s)f(s)ds,
0
и, таким образом, у (t) является решением неоднородной системы
(4.20.10). Законность дифференцирования под знаком интеграла
легко проверить.
Учитывая структуру матрицы X (t), будем иметь
X (t)a-*- 0 при t ОО.
Кроме того, на основании неравенства 3) получаем t
со 2 со
11$ G(t, s)f(s)ds |j==?$ !| G(t, s) || H/(s) |j ds -j- j
||G(f, s) Ц /,'s) ,/s •
0 0 t_
2
t
2 со
;$ ||/(s)!ids+ $ k\\f(s)\\ds^
0
2
at со со
tg^ke 2 $ ||/(s) \\ds-\- k $ j|/(s) |! ds<e,
если t^>T (e). Поэтому
CO
lim § G(t, s)f(s)ds = 0.
/~oo0
Следовательно, lim y(t) = 0.
t -*¦ CO
Лемма 2 полностью доказана.
§ 201 АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ВИТТА 303
Лемма 3. Пусть дана нелинейная система
dz
^ = P(0*+q>(f, Z), (4.20.11)
где ш-периодическая матрица Р (t) удовлетворяет условиям леммы 1, а
нелинейная вектор-функция ср (t, z) <"-периодична по t и удовлетворяет
условию Липшица по г:
j ср (I. г') - ср (/, г);! "с N !' г' - г ||
(/ с [ \ со), г < А. (4.20.12)
причем <р (t, 0) = 0.
Рассмотрим интегральное уравнение
СО
z(t, а) = X (t) а -)-\G (t, s)cp(s, z(s, a))ds, (4.20.13)
о
где X (t) - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы
(4. 20.1), имеющая специальный вид (4.20.2), G(t, s) определяется
формулой (4.20.8) и а - произвольный постоянный вектор такой, что
(а, е,) = 0.
Тогда, если константа Липшица N достаточно мала, то при а <' ал
интегральное уравнение (4.20.13) имеет решение z(t, а), представляющее
собой (п - 1 )-параметрическое семейство решений дифференциальной системы
(4.20.11), обращающихся в нуль на бесконечности
lim z(t, а) = 0. (4.20.14)
t -> СО
Доказательство, В силу формулы (4.20.2) при 0 справедлива оценка
! X (t) а || sgfe, I! a ;i е~*ь, (4.20.15)
где ki (kx^\) - некоторая положительная постоянная и
0<^a<^min Re [ - Х;- (С))].
/
Предположим, что k - постоянная из леммы 2 и константа Липшица N
удовлетворяет условию
N<~- (4.20.16)
Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если
, : . д
° < 2h, U'"
то интегральное уравнение (4.20.13) при 0 имеет решение
304 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (ГЛ. IV
z(t, а), причем
- " t
Z4. a) 2k, а <• 2 <л. (4.20.17)
За начальное приближение примем z"(i, а) = 0 и, как обычно, положим
Z
(t, a) = X{t)a-± \ G(t, s)?(s, zp.^(s, a)) ds (p = 1, 2, ...).
0
(4.20.18)
Так как cp (s, 0) = 0, то в силу неравенства (4.20.15) при t^> 0 имеем
а
|| z-, (t, а) - z" (t, а) П = I! X (t) a • ; a || <¦ a и e 2'.
Пусть теперь
\\zp(t, a) - zt,.i (t, flOH^ ф=-Л\а \<e~jt при 0; (4.20,19)
тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3) для G
и. s)! (см. лемму 2), будем иметь
I\zP±\ (t, a) ~zp(i, а)|!
со
=s?$ AHt, s) || ii ф (s, zp(s, a)) - <p(s, zp..i(s, a)) ds •
6
CO
• : \ <> (t, S) II • ~k II zp (s, a)-zp^(s, a) ||
о
Л h _ _5_ . j? . * .
u ke *(tИЛ I1-e 2 rfs + \k-2ihla':e * ds}^
0 t ь /9 _ ?? о __"?\ j, _ 5?
^5ггг1:Л1|(те 2 +Te 2) = 2^l!fllie 2<Д ПРИ *5=° (p= 1, 2, ...).
Таким образом, на основании принципа математической индукции заключаем,
что все приближения zp (t, а)(р= 1, 2, ...) имеют смысл и для них
справедлива оценка (4.20.19). Отсюда, так как
sP{t, я) = 2[*,(*. a) - zq^{t, л)],
9=1
то существует
lim zp(t, a) = z(t, а),
р -*¦ СО
s> 201 АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ПИТТА 305
причем сходимость последовательности равномерна в области
z(0^/<oo, |:a|i<~}
и, значит, предельная функция z(t, а) непрерывна по совокупности
переменных t и а при достаточно малой j а ||.
Переходя к пределу при р->оэ в равенстве (4.20.18), получаем
СО
z(t, a) = X(t)a J G (t, s) <p (s, z (t, a)) ds,
U
т. e. z (t, a) в области Z является решением интегрального уравнения
(4.20.13). Отсюда, дифференцируя по t последнее соотношение и используя
свойства функции G (t, s), будем иметь
z(t, a) = P{t)z{t, aH-q>(i, z(t, a)),
т. e. z(t, a) в области Z есть решение нелинейной дифференциальной
системы (4.20.11).
Далее, из неравенств (4.20.19) выводим
|| z(t, а) • ¦ гЛ/, а) V z,,(t, a) zv х (/, а) :
со a а
- 2/=c2^i [| a j; е ^,А при t^?0. (4.20.20)
р=1
Следовательно,
lim z(t, а) = 0, если ||fl||<4-;
f-.cc
в частности, при а = 0 имеем
z(t, 0) =0.
Лемма 3 доказана.
Рассмотрим теперь действительную автономную систему
ft=fiy)> (4.20.21)
где f(y) ^ О (!!_у ||<^Я), и пусть г] = т](Г)- со-периодическое
ее решение такое, что || •"] (i) j| Н. Уравнения в
вариациях
здесь имеют вид
$ = /"v(n(0)*. (4.20.22)
Аналог теоремы А н д р о н о в а-В и т т а (см. [52], [28]). Пусть
автономная система (4.20.21) допускает ">-периодическое
306 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ! ГЛ. IV
решение т] (t), не являющееся тождественной постоянной (ii (О Ф 0),
причем уравнения в вариациях (4.20.22) для этого решения имеют один
простой нулевой характеристический показатель, а все остальные- с
отрицательными действительными частями. Тогда периодическое решение т]
