Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет неравенству
V(t, y)^G(t, V.(t, у)), (4.14.3)
где G (t, v) - непрерывная скалярная функция;
2) соответствующее скалярное неравенство (4.14.2) не имеет
положительных решений v (t) с конечным временем определения, то каждое
решение у = у (t) системы (4.14.1) неограниченно продолжаемо вправо.
Доказательство. Допустим, что некоторое решение у (i) системы (4.14.1)
имеет конечное время определения t0s^t<^T <^оо. Тогда в силу леммы у {!)
-> :¦/• при t ->- Т - 0 и, следовательно,
при Т), где t\^>tn, решение у (t) целиком будет содер-
жаться в некоторой области Sp, (рис. 43), гдер,^>р. Кроме того, можно
предполагать, что V (i, у)^> 0 при (t, у) [?0, Т\ X Spr Но тогда на
основании неравенства (4.14.3) функция
v(t) = V(t, у {t))
является положительным решением скалярного неравенства (4.14.2)
?. Н] НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ 277
с конечным временем определения (v(T) = co). А-это
невозможно в силу условия 2) теорег ы.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть
G(t, v) = k(t)L(v), где k(t)^ 0 и L (и)>0 - скалярные функции,
непрерывные при
12; ta.
Если
и
dv .
+- со.
(V)
I о
то неравенство (4.14.2) не имеет положительных решений v (t) с конечным
временем определения.
Действительно, пусть существует положительное решение v(i) (i0^i<^T)
неравенства
^^k(t)L(v) (4.14.4)
такое, что |!о(Г)|| = оо. Из неравенства (4.14.4) находим
V (/) t
$ <4-14'5)
V f/V 'О
Отсюда при t Т - 0 получаем, что левая часть неравенства (4.14.5)
стремится к -)- со, а правая - ограничена, что, очевидно, невозможно.
Следовательно, каждое положительное решение v(i) неравенства (4.14.4) или
имеет смысл лишь на некотором конечном промежутке [/0, Т), причем
||о(/)Цт4со при t-+T - 0, или же оно определено на бесконечном промежутке
tn^t<^ со. Пример. Рассмотрим действительную систему (см. [45])
^=X(t,x), (4.14.6)
где
X (/, X) € Cf' " (/; х е"5).
Если
II X (t, х) :| k (t) !! JCII (4.14.7)
при !\x\\^p, где k (t) ? С (if)- неотрицательная скалярная функция, то*
все решения х (t) системы (4.14.6) неограниченно продолжаемы вправо.
Действительно, положим
1'i.rU- х ¦ Ах. х).
Отсюда
F <*) = (-, *.) + (*, х).
273
ВТОРОЙ METi. ЛЯПУНОВА
[ Г Л IV
Используя неравенство Коши (гл. I, § 5) и неравенство (4.14.7), будем
имен.
V (х) <2|!хг|; || X (t, х) I! < 2д (t) V (jc)=sO (t, V(JC)) при t^t0
и ;| x i! Эг p. Но неравенство
v (t) sg 2 k (t) v (t)
в силу следствия (L (v) - 2v) не имеет положительных peuieHHfi с конечным
временем определения. Следовательно, па основании теоремы Ла-Салля каждое
решение x(t) системы (4.14.6) имеет смысл при t0 <C t < оо.
§ 15. Устойчивость по Лагранжу Рассмотрим систему
-§)г -f(t. У), (4.15.1)
где f(t, у) ? С% 11 (/; X ай'у) и l] = {a<^t<^ оо}. Очевидно, система
(4.15.1) обладает свойством единственности решений
У(1- U, Уо), где и Уо^^г
Определение. Будем говорить, что система (4.15.1) устойчива по Лагранжу
(см. [12], [45]), если: 1) каждое решение У (t', to, у о), где t"(^If,
неограниченно продолжаемо вправо-, -т, е. имеет смысл при 2) \\y(t',
t0} у0) j ограничена на
[t0, оо).
Например, если система (4.15.1) имеет ограниченное решение
1](t)\ асимптотически устойчивое в целом (§ 7), то эта система устойчива
по Лагранжу.
Используя функции Ляпунова, нетрудно сформулировать необходимые и
достаточные условия устойчивости системы (4.15.1) по Лагранжу (см. [41],
[46]).
Теорема. Для того чтобы система (4.15.1) была устойчива по Лагранжу,
необходимо и достаточно, чтобы в Г, X существовала функция V (t, у)
такая, что
1) V (t, у) 5= W (у), где W (у) -v сю при ;|_у !¦ -v сю;
2) для каждого решения у (t\ 4, Уо) функция V (t, у (t\ tn, у0)) была
невозрастающей относительно переменной I.
Замечание. Для случая достаточности условие1 2) можно заменить следующим:
2') V (t, у) з силу системы (4.15.1).
Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теоремы. Пусть
для системы (4.15.1) существует функция
V у), обладающая свойствами 1) и 2). Для всякого решения у (/; tо,
уп) (Ос, \> у* j, <оо) в силу условия 2) при имеем
V (*, у (П /", у*)) ==;. V (f0, у (f0; ta, Уо)) - V (h, Уо)-
" 151
УСТОЙЧИВОСТЬ по ЛЛГРЛНЖУ
279
Отсюда на основании условия 1) получаем
W(y(t\ to, y0))^V(t, y(t; t0, y0))^V(t0, y") при t>-to.
(4.15.2)
Из последнего неравенства следует, что решение у (t; t0, _у0) ограничено.
Действительно, если это не так, то нашлась бы последовательность моментов
времени th-*co (k=\, 2, ...; tb^ta) такая, что
:|y(tk\ to, Уо) 11 ^ со при k-yco
и, следовательно,
W(y(ty, to, у"))-
-|-СО при k-
со.
вопреки неравенству (4.15.2). Таким образом, решение у (t\ t0, у")
неограниченно продолжаемо вправо и
sup!i.y(f; h, У о) 11 < 00 t
(4.15.3)
при t [/0, со).
Замечание. Для этой части теоремы не требуется выполнения свойства
единственности решений.
2) Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть любое решение у
(t; tl}, уй) системы (4.15.1) существует и ограничено на промежутке tQ^
t<^ оо и, следовательно, бесконечно продолжаемо при со.
