Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(t) асимптотически орбитально устойчиво при усо.
Более того, для каждого близкого к т](0 решения у (t) существует
асимптотическая фаза, т. е. если Д^>0 достаточно мало и
У(1> ) - Л (*о) ^1<д для некоторых t0 и tu то найдется постоянная с =
с[у] такая, что
lim [,y(/-j-c)- т1(0]==0- (4.20.23)
/->00
Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямо-
угольную систему координат 0'vy ... vn, начало которой О' находится в
точке т] (0), а первая ось O'Vy икеет направление,
определяемое вектором т) (0) (рис. 48). Тогда система (4.20.21) примет
вид
% = gCo), (4.20.24)
где снова g(v) ? С1.
Периодическое решение т] (() при этом перейдет в периодическое решение
ф0=/?(0, обладающее следующими свойствами:
(i 20] АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ВИТ'ГА
Уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид
da
307
dt
= gv (Р (0) ",
(4.20.26)
причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы
(4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в
вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует
действительная фундаментальная матрица вида
U {t) = (r){t)&\ag{Eu ес^), (4.20.27)
где Ф(^-|-со) = Ф(^) и Re Ху (Cj) 0. Из формулы (4.20.27) вытекает, что
первый столбец матрицы U (t) представляет собой to-периодическое решение
уравнения (4.20.26). Так как p(t) является to-периодическим решением
уравнений в вариациях (4.20.26) (см. § 18) и в силу условия теоремы это
решение единственно, с точностью до скалярного постоянного множителя, то
можно принять
= и'<'>
где U\ (t) - матрица типа п~Х(п - 1), причем
U(0) = [еь U,(0)1
Положим
v=p(t) + z.
Тогда уравнение (4.20.24) примет вид
(4.20.28)
(4.20.29)
dz
(4.20.30)
где
Так как
то
и
ф (t, z) = [g(p (t) + z) - g(p (0)1 - gv(p (0) г.
фИ*. z) = gv(p(t)^rz) - gv(p(t)),
ф(<, 0) = ((z(t, 0) = 0 (4.20.31)
4>(t, z) lJ0, <p'z{t, г)1?-0~при z-> 0.
Отсюда следует, что q> (t, z) удовлетворяет условию Липшица: II Ф (t, z')
- Ф (t, z) I; 5^ N II z' - z II
(t ? [0, оо), ||г||<д, ||г'||<Л),
308
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
где константа Липшица N сколь угодно мала, если число Д достаточно мало.
Пусть
Г 0 -
а ¦
ап -
- любой вектор, перпендикулярный орту et.
В силу леммы 3 при ||а|!<^а0 нелинейная система (4.20.30) допускает
непрерывное по а многообразие решений
z(t, а)-"- 0 при сю,
норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют
интегральному уравнению
СО
z(t, a) = U \ G (t, s)tp(s, z(s, a))ds, (4.20.32)
о
где аналогично (4.20.2) имеем
f/(0diag(0, ?"_.,) U'1 (s) при s<^t,
- U (t) diag (Ei, 0)f/_1(s) при s^>t,
G(t, s) =
(4.20.33)
причем
i G (t, 5)1
ke~*(t s) при s<^t, k при s^>t.
2) Установим связь между начальными значениями z{t>) -
- Z(0, а) решения z(t, а) и параметром а. Из уравнения (4.20.32),
полагая / = 0 и учитывая формулы (4.20.33), имеем
ОО
г{0) - U (0) а - 6r(0)diag(?'I, 0)$ ?/_1(s)q>(s, z(s, a))ds, (4.20.34)
о
где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру а при ||
а || <^а0.
Используя формулу (4.20.29), получаем
U (0) diag (Еи 0) = diag (Еи 0).
Отсюда, полагая
§201 АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ВИТТА 309
и переходя в векторном уравнении (4.20.34)к координатам, будем иметь
систему скалярных уравнений
Т1
гГ = V cfaj + ф (а2, ..., ап),
;72 (4.20.35)
г'ь - 2 cfa} (k = 2,
/ = 2
(к)
где Cj - соответствующие элементы матрицы f/, (0) и
ОО
Ф("3, a") = [$G(0, s)<p(s, z(s, a))dsl
о
(символ [ h обозначает первую компоненту соответствующего
вектора), причем ф(а.2, ..., ап) непрерывна при ||а||<а0. Так как матрица
U(0) неособенная, то из структуры формулы (4.20.29) следует, что
det U (0) = Ап Ф 0,
где
An = \cf\ (/', k = 2, ..., я).
Поэтому последние (п-1) уравнений системы (4.20.35) можно разрешить
относительно координат аа, ..., апу и мы будем иметь
а* == X dfzf (k = 2,...,"), (4.20.36)
/ = 2
где df - некоторые постоянные.
Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4.20.35), находим
гГ= + да1, г'"), (4.20.37)
/ = 2
где ^ - некоторые постоянные и ty{zT, ¦¦¦, ?"') - результат подстановки
параметров а,, ..., ап в функцию ф(а2, ..., ап). В силу формулы (4.20.20)
имеем:
а
|| z (s, а) || 2ki || а || е 2 * при s ^ 0.
Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство
310
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. 'V
где у (г)-*-0 при г->0. Поэтому, учитывая ограниченность матрицы G(0, s),
получаем
- начальные значения некоторого решения v (t) преобразованной
автономной системы (4.20.24). Так как
где функция t|) непрерывна, если г = \ v'?' \ 4- ... -f-1 и"011
достаточно мало, причем
В пространстве O'vi ... vn уравнение (4.20.39) представляет собой
некоторую непрерывную поверхность 5 (рис. 48), определенную в окрестности
точки О' и однозначную относительно координаты v'\ \ обладающую тем
свойством, что из ее точек при t - 0 выходят траектории v = v(t) системы
(4.20.24), неограниченно приближающиеся к замкнутой периодической
траектории v0=p(t), т. е. такие, что
Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что
