Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Положим
V (t, y) = sup '\у (/ -Ь т; t, у) |12,
т >: О
(4.15.4)
где / > а, у 11 <со.
Из формулы (4.15.4) имеем
V(t, y)^\y(t\ t, y)f =
-- У 1 :W(y),
причем, очевидно, UP(y)->oo при Ц_у lj-> оо, т. е. условие 1) выполнено.
Далее, при a<^ty<^tt, учитывая, что в силу свойства единственности
решение у (t; U, у(/.2; t0, у0)) является продолжением решения у (t; tu
y(V, t", y0)) (рис. 44), получаем
V (tu У (tu /о, Уо)) = sup Is y(ti+r, tu у (^,; to, y,,)) '
sup i|_y (f* j-т; tt, y(tt; t0, y0)) jj* = I/ (tt, у (Ц; t0, y0)).
¦t>0
280 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУ,'ЮЗА [ГЛ. IV
Таким образом, условие 2) также выполнено,
Теорема доказана полностью.
Замечание. Непрерывность функции V (t, у) здесь не гарантируется.
Пример. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение (см. [46J)
xArp(t) Jc-\-q (t)f(x) = 0, (4.15.5)
где p(t) ? С [0, со), q (t) ? C\ [0, со) и f (x) ? С (- со, со).
Если выполнены условия:
1) 0<9(()<М;
it СО
3) ^ / (х) dx = -|- со,
о
то решения х (t) уравнения (4.15.5) ограничены на [0, со) вместе со
своими производными Л (t).
Действительно, запишем уравнение (4.15.5) в виде системы
dt =*
Положим
dx dt
= - p(t)y - q(t)f(x)-
(4.15.6)
На основании неравенства 1) имеем
X
V(t, x, у) 3= jj / (с) di 4- = W (х, у),
У2 (0
причем W(х, _у) -> 4"03 ПРИ -t2-> со.
Далее,
X {()
V[t, x{t), у (t)} = jj ?(r)а*+-2д(1) •
0
Отсюда
=/ (А- (0) У (0 - ~^ [Р (О У it) + q (0 f (X (О)] - -^It)1'
2q (t) J "
Таким образом, условия теоремы выполнены и, следовательно, х (t) и y(t) =
x(t) ограничены на промежутке 0 t < со.
s 161 СИСТЕМЫ с КОНВЕРГЕНЦИЕЙ 281
§ 16. Системы с конвергенцией
Рассмотрим систему
у). ^16Л>
где f(t, У) cfy " (/( X е^у) и lt = {- oo</<-f-oo}.
Определение. Обобщая определение В. А. Плисса (см. [47]), будем говорить,
что система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, если
1) все решения у (t; t0, _у0) определены при t<^оо\
2) существует единственное решение tj (t) (t ? It), определенное и
ограниченное на всей оси, т. е.
sup ij ti (OIK 0°; t
3) решение tj (t) асимптотически устойчиво в целом при /->-4-оо (см. §
7), т. е. для любого решения у (/; /", у0) имеем
lim [jv (О t0, y0) - i\ (01 = 0.
/ -> CO
Можно сказать, что в некотором смысле т] (t) является предельным режимом
системы (4.16.1).
Очевидно, если система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, то все
ее решения у (/; _у0) предельно (финально)
ограничены при /->-!-со (см. § 17), т. е. существует положительное число
R такое, что
to, _Уо)||< я при t>to-\-T(t0,.y").
В частности, например, можно принять
R = sup || tj (О 1| + 1. t
Замечание. Если правая часть /(/, у) конвергентной системы (4.16.1) ""-
периодична по t, то ограниченное решение tj (/) также ш-периодично по t.
Действительно, пусть
/(/ + <", y)=f{t, у).
Рассмотрим вектор-функцию Tj(/-f-u)). Имеем
~ 1ч(* + <о)] = Л(* + "•) =/(* + "", ц (* + <""))=/(*, л(^+ш))-
Таким образом, также является решением системы
(4.16.1) и притом ограниченным на /,. А так как система
Ж ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ IV
с конвергенцией обладает единственным ограниченным на lt решением, то
т, е. г) (t) есть ш-периоднческое решение системы (4.16.1). Лемма 1.
Пусть
% =Ay-{-f(t), (4.16.2)
где А - постоянная (п X п)-матрица и (п X I)-матрица те
...-°°. Н-оо).
Если
Г) все характеристические корни Ху (Л) матрицы А имеют отрицательные
действительные части
Re Ху (Л) < 0 (/= 1....п); (4.16.3)
2) вектор-функция f(t) ограничена на It = (- оо, -|-оо):
sup v\f(l) [! = М сю,
/
то система (4.16.2) обладает свойством конвергенции, причем
il(0= I eA"~T}f(x)dx (4.16.4)
- оо
представляет собой единственное ограниченное на 11 решение системы
(4.16.2).
Доказательство. Из условия (4.16.3) имеем
I) еА11| s=S .W а' при ! 0,
где 7V > 0 и 0 <-max Re Ху-(Л). Отсюда получаем
/
|; 11(0 || <;/V ( = f <м,
•• - аэ
Следовательно, интеграл (4.16.4) сходится и функция i](f) ограничена,
причем
sup || ч(0 j! "S-^-sup jl/(0 il-t (r) i
Дифференцируя формулу (4.16.4) по параметру t, получим
t
l'l (0 =/(0 + Л 5 eA{t-^f(x)dx=f(t)-ir Ац(1),
- ОО
и, таким образом, ц (0 является решением системы (4.16.2).
S 16] СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ 283
То, что ограниченное решение системы (4,16,2) единственно, следует из
того обстоятельства, что разность двух ограниченных решении неоднородной
системы (4.16.2) является ограниченным решением соответствующей
однородной системы
не имеющей нетривиальных решений, ограниченных на всей оси 1,.
Действительно, если ти (t) - другое решение неоднородной системы
(4,16,2), ограниченное на оси /(, то при любом иыеем
т], (0 - 1] (О = ел ~'<¦' [т], (tn) - 11 (Ml-
Отсюда
Ihi (t)~n(t) i\^.Ne a^to) j|T), (t0)- Ш) jj. (4.16,5)
Так как
sup !|tj, (^)_T(j(^) ||<oo,
^0
то, фиксируя t и переходя к пределу при f0 -> - со в неравенстве
(4.16.5), получим
11111(0 - 11(0 !!*?0,
т, е,
т], (0 = т] (0,
и, таким' образом, других, кроме ^(О, ограниченных на /( решений система
(4.16.2) не имеет.
Если у (t) - любое решение неоднородной системы (14.6.2), то, учитывая,
