Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
что разность у (t)- щ (0 удовлетворяет однородной системе i(4.16.4),
получим
у (0 - 1] (0 = еА''~ '"> [у (t0) - 1] (/0)];
отсюда
I у (/) - т| (0 I! ||y(t0) - т] (t0) ||
при и, следовательно,
lim у (0 - ¦"] (0 !! = 0.
t -" СС
Таким образом, i] (0 устойчива в целом при и, значит,
система |(4.16.2) конвергентна,
ПриЕ;едем одно достаточное условие конвергентности нелинейной системы.
Для этого нам понадобятся две леммы, представляющие тавдке
самостоятельный интерес.
284 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА |ТЛ. !V
Лемма 2 (см. [48]). Пусть f (jc) ? С1 -действительная вектор-функция,
J, (х) = 1 {/ (х) +1/ (хп') = | (|Ь + |?)
- симметризованная матрица Якоби (см. гл. 1, § 10), а (х) и А (х) -
ее наименьший и наибольший характеристические корни.
Тогда для скалярного произведения (/ (х -+¦ h)-f(x), h) справедлива
оценка:
km(h, А) < (/(л: + А) - f(x), A)=sSAaj(A, A), (4.16.6)
где
\m = inf X (x + th)
I 6 io. и
и
AM= sup A (x-\-th).
t 6 [0, II
Доказательство. Полагая
\ = x-\-th (0==c ? 1),
имеем
i i
/(* +A)-/(*) = [ ~ [/(I)] dt= if (g) hdt.
о 0
Отсюда
i i
(/(* +A)-/(*), h) = Qf(l)hdt, h)=\{f{i)h, h)dt. (4.16.7)
0 l)
Так как
(f(l)h, h) = (Js(l)h, A), то, очевидно (гл. I, § 5), имеем
(/'(I) A, A)5*MS) (A, A)^Xm(A, A)
и
if (I) A, A)==SA(1)(A, А)^Лд,(А, A).
Поэтому'из формулы (4.16.7) вытекает неравенство (4.16.6). Лемма 3 (см.
[48], [49]). Пусть
% = fit, У), (4.16.8)
СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ
285
где f(t, у) С(^ 11 (It X е^у) и выполнено свойство единственности
решений, причем при ||_у0II-и любом t"^It все решения у (t; 1", у0)
входят внутрь цилиндра Z{-оо <V<H-°°; IIjMI^^} пРи в03~ растающем t (рис.
45), т. е.
4i (НУ !12Х° пРи 1!У11=^.
? силу системы (4.16.8). Тогда существует по меньшей мере одно
решение ki = (i) системы (4.16.8), определенное для всех t^It и целиком
содержащееся в цилиндре Z:
II'"HOIK я,
т. е. ограниченное на всей оси - оо t -f- оо.
Доказательство. Рассмотрим последовательность трубок Тр решений у (^; tp,
у0), определяемых начальными условиями: tp = - р (р = 0, 1, 2, ...), у 0
?= 5", где = { |j_y || }. Так как
решения у (t\ tp, у")^Тр при tp =- р входят в цилиндр Z и остаются в нем,
то они бесконечно продолжаемы вправо, т. е. имеют смысл при - р t оо.
Пусть Sp = {>>(0; - р,уй)) (р = 0, 1,2, ...) -сечение трубки Тр начальной
гиперплоскостью t - 0. В силу свойства интегральной непрерывности (гл.
II, § 1) множества Sp замкнуты. Так как решения у (t\ -р, у0) при t ^ - р
содержатся внутри цилиндра Z, то
||у(- р + 1; - р, y0)\\<R
и, следовательно, на основании свойства единственности, значения у (-p-f-
1; -р, у0) составляют часть начальных значений *о = - (р - 1), Юо II
трубки Тр_х. Поэтому для каждого р^= 1
286 второй метод Ляпунова [гл. :v
трубка Т9 целиком содержится в трубке Тр_и и поэтому для системы
замкнутых множеств {5р} будем иметь
S"DSO-OSH^s^"-
Следовательно, на основании принципа вложенных сфер для системы
существует общая точка
Ло G П $р>
р= о
где j! т]0 [| Рассмотрим решение
Л (О -У ((', 0, 11о).
Так как т]" Sp (р= 1, 2,...), то существует решение
JV(t; -р, Лр) (t^ - p, i),: R) такое, что у (0; -р, iip) = т](..
В силу свойства единственности имеем
y(t\ 0, Tie)==y(f; -Р. ЛР)
и, следовательно, у (t; 0, %) определено при - pss:_t<^oo. Отсюда ввиду
произвольности натурального числа р получаем, что решение т)(0 = }/(?; 0,
т]0) имеет смысл на всей оси -сю /<С~г °°> причем
sup II К] (t) \\^R.
' t
Лемма доказана.
Теорема (см. 148]). Пусть дана действительная система
-ff=fV,y). (4.16.9)
еде
f(t,y)ecf>h(itx
причем
JAt, У) = \{&У, у) + [fy(t, у)П
- симметризованная матрица Якоби.
Если
1) sup ,| f(t, 0)|| = &<^оо;
t
2) наибольший характеристический корень Л (t, у) симметрической
матрицы Js{t, у) для всех t и у удовлетворяет неравенству
A(t, у)^^аС 0, (4. lb. 10)
где а- положительное число,
то система (4.16.9) обладает свойством конвергенции.
s к;; СИСТЕМЫ С КОНВЕРГЕНЦИЕЙ 287
Доказательство. Положим
V(y)=Y'ly У)-
На основании системы (4.16.9) имеем
4г = (4г' у) = (/('. у), у)-
Отсюда
4г=(Я*. У)~/(Л 0). У)+ (/(*. 0), у).
Применяя лемму 2 и используя неравенство (4.16.10), получим
-а(.У> У)+ !(/(*, 0), У)!-
Далее, в силу неравенства Коши (гл. I, § 5) и условия 1) имеем (fit- 0),
у) • /(/, 0)|||iy|!^*||jf||.
Таким образом,
если
11 ¦' " а
Следовательно, все решения у (t; t0, у0) при ||_у0||=/? входят внутрь
цилиндра Z = {-оо t <^-j- оо, и по лемме 3
существует решение tj = t](/) системы (4.К3.1Э), определенное и
ограниченное на /* = {-оо t + °°}, причем
sup SI л (0 || sg R.
t
Пусть у (t) - любое решение системы (4.16.9), определяемое начальным
условием: y(t0)=y0. Положим
X = y(t)-I\(t)
и
I' (X) - II X II2 = \ (х, X).
Так как
4г=/('. У)-Ж Ч),
то на основании леммы 2 имеем
y)~f V> *l)> x)s^ - п(х, x) = ~2o.V.
288 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. (ГЛ. IV
Отсюда при t^t0 получаем
V [JC(01 -SS1/ tJC (Ше-^
т. е.
\\y(t) - л(0'!!< ii^Uo) - л (<о) !1 "_я (< "f0> при tszt0. (4.16.11)
Следовательно, tj (t) асимптотически устойчиво в целом (§ 7), причем
