Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 68

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 121 >> Следующая

Согласно локальной теореме существования ргиеннй, для любой пары (?0,
Хо), где Ц х01| <^h, существует ре:иение у (t) дифференциального
уравнения (4.12.6), а следовательно, и интегрального уравнения (4.12.10),
удовлетворяющее начальному условию:
у (tt) = X(to) = Xo,
определенное в некотором интервале 1, причем
||.v(/) || <Л при i?[t0, и число I, вообще говоря, зависит
от решения у (t).
§ 12] УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 269
Так как все характеристические показатели 3., (k = 1, .,п)
линейной системы (4.12.9) отрицательны, то существует положительная
постоянная Cj такая, что
||Н(0||<с, при t^t<^oo (С] Зэ 1). (4,12.11)
Кроме того, на основании оценки матрицы Коши К <t, х) для правильной
системы с отрицательными характеристическими показателями (§11,
следствие) имеем
|| K(t, т) || <с.,еЕ|' ~ fj) (4.12.12)
при tf) sS х t со.
Далее, на основании формул (4,12.8) и (4.12.2) при ta i -j-1
получаем
1 g(i, У) || \\f(i, ye-iu-ы) || < с3ё* ~{т ~ 11 || у
j|m,
где с3 - достаточно большая положительная постоянная. Отсюда, оценивая по
норме при t0^t<^t0~\~ I левую и правую части интегрального уравнения
(4.12.10), будем иметь
у (t) || ^ || И (t) || || у (f0) || + \ || /С (t, х) || || g (х, у (,})
j! dx,

ИЛИ
IIу (О II с, II у (/о) I! + S с2с3^ - <" - " Ti (х - /о) || у (-) Г
(4.12.13)
<0
Выберем положительное число е столь малым, чтобы имело место неравенство
о = (т - 1)7 - 2s ^>0.
Тогда из неравенства (4.12.13) при f / выводим
II У (0 || ||jy(f0) II + { cte-^-'o) ||^(х)Г^х,
(4.12.14)
tf,
где
С?--
Из неравенства (4.12.14), используя лемму Бихари (следствие 2 из § 2 гл.
II), находим
IIУ (011^----------------------------------------------1_, (4.12.15)
[l_(m_l)c"-i |и"(<0)||"
270
1ГГОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[1'Л. IV
если только
1
¦ (т-1) с'11~х || у (t0) },m~l \ cte~ S(T " to) dx I. (4.12.16)
h
Так как
^е~8(т /0) ^ 1 <^О0,

то неравенство (4.12.16) всегда можно считать выполненным за счет выбора
окрестности начальных данных х (t0)=y(t"). Из формулы (4.12.15) следует,
что если |].у(^>)11 достаточно мало, то при любом t?\tih to-]-l) точка у
(t) является внутренней точкой области Z = |/0 t <^со, ||jV || ^ и.
следовательно,
решение у (t) бесконечно продолжаемо вправо, т. е. можно положить 1 = оо.
Таким образом, в бесконечном промежутке t0^t<^co выполнено неравенство
\\yii) ||^АЧ|^(" || <4, (4.12.17)
где N - некоторая постоянная, зависящая от начального момента ta.
Возвращаясь к переменной х, в силу формулы (4.12.5) при t(lsct<^oo и || х
(t0) || < А h будем иметь
I) x(t) И || х (/0) || g-TW-w (4.12.18)
где постоянная А достаточно мала.
Отсюда следует, что тривиальное решение jc = 0 нелинейной системы
(4.12.1) экспоненциально устойчиво по Ляпунову при t -V оо.
Теорема доказана.
Следствие. Любое решение х (t) нелинейной дифференциальной системы-
(Ь.12.1) с начальными данными x(t0), принадлежащими достаточно малой
окрестности || x(t0) ||<А, имеет характеристический показатель,
удовлетворяющий неравенству
Z|x(01<max"" (4|2|9i
где у.,, - характеристические показатели соответствующей линейной системы
(4.12.3).
Действительно, из неравенства (4.12.18) получаем
г [*(0] - т,
а так как число -f может быть выбрано сколь угодно близким к тахаь то
отсюда следует неравенство (4.12.19).
ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
'271
§ 13. Признак устойчивости для нелинейных систем с неправильной линейной
частью
Рассмотрим действительную линейную однородную систему
где A(t)ec[t" со), sup |! A (t) || оо, и пусть я,,..., а" - ее
называется мерой неправильности системы (4.13.1) (см. [15]). В силу
неравенства Ляпунова (гл. III, § 7)
Очевидно, что система (4.13,1) правильная тогда и только тогда, когда -
/.--О,
Обобщением критерия Ляпунова для неправильных систем занимался Н, Г.
Четаев. Мы приведем результат Массера (см. [44J), обобщающий теорему
Ляпунова (§ 12) и Четаева (см. [15]).
Теорема Массера, Пусть дана нелинейная система
где b{t) - положительная функция такая, что у ['Ь (/)] = О,
2) для характеристических показателей аь ..., ал линейного приближения
(4.13.1) выполнено неравенство
(4.13.1)
характеристические показатели. Определение. Число
П
k~i t-"00 (,)
(4.13.2)
из формулы (4.13.2) получаем
% = A (t) у-r f(t, у),
(4.13.3)
где А (Ос С V, оо), sup |j A it) j] <оо и fit, у) ? С% " (t0 /<с
)у I) <Ch), причем f(t, 0) = 0. Если
1) ||/(*. У) II "S'MO 11.У 1Г (m> 1),
272 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА IГЛ. IV
где * - мера неправильности соответствующей линейной системы (4.13.1),
то тривиальное решение у=0 нелинейной системы (4.13.3) асимптотически
устойчиво по Ляпунову при t -> со.
Доказательство. Пусть
D = diag (оч-гЪ ап + ТГ).
где (рис. 41)
7~ГТ<Т<~ *. а=шаха*. (4.13.4)
Положим
y = X(t)e~Dlz, (4.13.5)
где X(t)~\xjk(t)] - нормированная фундаментальная матрица

~ т-1 -X-
г
Рис. 41.
линейной системы (4:13.1) (X(t0) = E). В силу (4.13.3) имеем = X (t) ё~
D' d? -4- X{t)e ~Dl z - X (t) е~ Dl Dz =
= A(t)X (t) e~ Dt z + f{t, X (t) e~ D! z).
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed