Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
мультипликатор
Р = 1
(гл. III, § 15). Отсюда, беря главное значение логарифма, получаем, что
соответствующий характеристический показатель д будет нулевым:
X = - In 1 = 0.
(.0
Определение 4. Будем говорить, что решение i] (t) имеет свойство
асимптотической фазы (см. [52], [28]), если для каждого решения у (t),
удовлетворяющего начальному неравенству (4.19.4), где Д(|>0 достаточно
мало, существует число c = c[j>] (асимптотическая фаза) такое, что1)
jljv (t -j- с) - i) (t) || ->¦ 0 при t со. (4.19.6)
*) Для удобства записи некоторых дальнейших формул знак фазы изменен на
обратный по сравнению с [52].
§ 20] АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА - ВИТТА 299
Лемма 2. Орбитально устойчивое решение т] (t) с асимптотической фазой
асимптотически орбитально устойчиво.
Доказательство. Действительно, при t'3zt0y\c\ имеем
Р(У(0. Lo)= inf \\y(t)-^(ti)\^\\y(t)~n(t~c)l
A) =5^1
Отсюда на основании условия (4.19.6) получаем
lim р (y(t), Ц) = 0,
t-+CQ
что и требовалось доказать.
§ 20. Аналог теоремы Андронова-Витта
В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной
устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно
докажем три леммы (см. [28]).
Лемма 1. Пусть действительная периодическая система
~t=P(t)x, (4.20.1)
где Р (t) ? С ( - оо, -(-оо) и Р (t -j- <о) = P(t) (<о^>0) имеет один
мультипликатор pt - 1, а модули всех остальных ее мультипликаторов р;(/ =
2, , п) меньше единицы.
! Ру I < 1 ПРИ }Ф\-
Тогда для системы (4.20.1) существует фундаментальная матрица
специального вида
X (t) =Ф (t) diag (Ei, eci'), (4.20.2)
где Ф (t) - действительная неособенная <о-периодическая непрерывно
дифференцируемая (п X п)-матрица, Ех = 1 и С, - действительная постоянная
(п - 1) X (п - 1)-матрица, все характеристические корни которой имеют
отрицательные действительные части:
Re (С,) < 0 (/ = 1, ..., п-1).
Доказательство. Пусть X(t) (Х(0) = Е) - нормированная фундаментальная
матрица системы (4.20.1). Так как матрица Р (t) - ("-периодическая, то
справедливо соотношение
X (f + ю) = X (0 * ("*>). (4.20.3)
В силу условия теоремы для матрицы монодромии X (<") одно
из
ее собственных значений равно 1, а все другие по модулю мень-
ше 1. Поэтому существует действительная неособенная матрица А такая, что
А1 Х(">) A = diag(?b Вг) = В, (4.20.4)
300 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
где Bi-действительная матрица типа (п-1)Х(я- 1)')> все характеристические
числа которой по модулю меньше 1. Тогда, вводя действительную
фундаментальную матрицу
X(t) = X(t)A, (4.20.5)
на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь X (t -f ю) = X
(t -f <о) А =Х (t) X (ш) А - Х (t) В.
Для матрицы X (t) из (4.20.5) построим основную матрицу
(обобщение, § 15 гл. III)
С- X1 (0) X (ш) - А-'Х-' (0) X ("О А = В,
и пусть
Л = -^-Ln В = diag(0, Ci), (4.20.6)
где
Ct=- Ln Bv
1 СО 1
Согласно теореме Флоке имеем
X(t) = <b(t)eAi, (4.20.7)
где Ф (t) - неособенная ю-периодическая матрица. Отсюда на основании
формулы (4.20.6) получим
X(t) = 0(t)diag(Eu ес^),
где
ReXj,(C1) = Re[i-LnX;(B1)]<0.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть X (t) - действительная фундаментальная матрица системы
(4.20.1) вида (4.20.2) и
Г X(0diag(0, En^)X l(s) при f>s,
2" S) \ - X(0diag(?lf 0)X-'(s) при f<s, <4-20-8>
где Ep(p - 1, ... , n) - единичная матрица соответствующего порядка.
Тогда матрица G(t, s) обладает следующими свойствами:
1) G (t, t~0)~G(t, t-\-0) = En~
2) Gf(t, s) = P(t)G(t, s) при t Ф s;
[ ke~°(t~s) при t^>s,
3) :G(t, S)l|^ ,
' ' 'Л ( k при t<^s,
где a^>0 и k^>0 - постоянные',
*) Можно, например, воспользоваться приведением матрицы Х(ч>) к
нормальной форме Жордана в поле действительных чисел (см. [4]).
§20] АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АНДРОНОВА -БИТТА 301
4) вектор-функция
СО
y(t) = X(t)a + \G{t, s)f(s)ds, (4.20.9)
О
где а - произвольный постоянный вектор с нулевой первой координатой, т.
е.
(а, e1) = Q, 6i = colon (1, 0, 0)
и
СО
f(t)?C[ 0, сю), ^ ||/(0 || dt < сю,
о
является решением неоднородной системы
di = P(t)y+f(t), (4.20.10)
стремящимся к нулю при /-> со:
у (оо) = lim .у (0 = 0.
t-* со
Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы
(4.20.8).
В силу структуры матрицы X (0 имеем
X(0 = 4>(0diag(?1, ec^f)
и
X-1 (s) = diag (Еи e-c's) Ф"! (s), где Ф (0 - "-периодическая матрица.
Следовательно,
G(t, s) = Ф (0 diag (0, eCl(<~s,)(r)~1(s) при t^>s
и
G(t, s) = - (r)(0diag(?t, 0)(r)~'(s) при t <^s.
Так как все характеристические корни матрицы С, имеют отрицательные
действительные части, а матрица Ф(0 ограничена вместе с матрицей Ф_1(0,
то, полагая
0 а <1 min [ - ReX/(C1)],
/
получим оценки 3).
Рассмотрим теперь функцию у (/), определяемую формулой
(4.20.9). Так как \\G(t, s)|j==sft при t, s^sO, то имеем
302 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части
равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся. Записав формулу
(4.20.9) в виде
t СО
у (t)~X (t)a+\G(t, s)f(s)ds-\-\)G(t, s)f(s)ds и (
