Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
(х + У х2 - \)п + (Х _ у Х2 _ 1 )« = 2
(cos ф -f- i sin ф)" + (cos <р — i эшф)" 2~
-т[(-
+ {-<-
-4- <?~г'ф ^!<*' — ?-*ф \n
2i
+
_J_ g-1'ф ег<Р _
--i ¦
100
cos" x = —-[cos nx + C1 cos (n — 2)x +
2 — 1 n
+ C2 cos (n —4)x + ...].
= cos rap = Tn (x).
Итак, соотношение доказано.
НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА
Все свойства многочленов Тп(х) по существу следуют из определения Тп(х) = cos (я arccos х). Докажем, что внутри отрезка [— 1, + 1} многочлен Тп(х) имеет п различных вещественных корней.
Из определения Тп(х) заключаем, что Т„(х) = О, если
я
п arccos х = (2k — \ ) —,
откуда
х = cos {2k~ 1) Л. (30)
2п
Придавая k значения 1, 2, ..., n, получаем n различных значений корней многочлена Тп(х):
(2к-\) ,„п
xh = cos---л. (31)
2п
Действительно, если k < / есть два числа из 1, 2, .. , п значений, то
2k - 1 21 - 1
0 <------л <---л < л,
2п 2п
а так как на интервале [—я, -4-я] косинус монотонно убывает от + 1 до — 1 (см. рис. 28), то xh > хи а поскольку Тп{х) — многочлен степени п, то других корней, кроме (31), у него быть не может (почему?).
101
То, что многочлен Тп(х) не имеет других корней, кроме (31), можно вывести н из общей формулы корней (30). Действительно,
(2n + 2p- 1)
cos-
2л
/ (2р~1) \ 1Я + —IT"11)
I я--я I
\ 2» /
2(n-p) + 1
= COS J Я----Я ) COS---Я = Xn-p + t.
Для построения корней многочлена Тп(х) можно поступить следующим Образом. Разделим полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат на 2л равных частей, начиная от правого конца диаметра против часовой стрелки (рис. 29), и опустим из точек деле-
Рнс. 29. Нули многочленов Чебышева как ортогональные проекции вершин правильного 4/г-угольннка.
ния через одну перпендикуляры на ось абсцисс. Основания перпендикуляров совпадают с корнями (31) многочлена Тп(х). Видно, что распределение корней неравномерно: у концов отрезка [— 1, -f- 1] они скапливаются, а в середине встречаются реже.
Докажем теперь, что на отрезке [—1, +1} корни многочлена Тп(х) расположены симметрично относительно середины, т. е. что при четном п все корни многочлена Тп(х) подразделяются на пары, равноотстоящие
102
от концов отрезка [— 1, + 1], а при нечетном п без пары остается только нулевой корень, совпадающий с серединой отрезка [— 1, + 1].
Это свойство следует из графического построения корней многочлена Тп(х) (см. рис. 25), но легко доказывается и аналитически. Действительно, пусть k — некоторое число из набора 1, 2, п. Если считать от конца набора к началу, то на k-м месте стоит число п — (k — 1) = п — ? + 1, и
2(л —Jfe+1) -1 / 2k— 1 \
cos —---—--я = cos i я----¦ я ) =
2п \ 2п I
(2ft — 1)
= — cos-x-я,
2п
т. е. xn-h+i = — Xh, что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что корни многочленов Тп(х) и Tn-i(x) перемежаются.
Действительно, корни многочлена Тп(х) можно рассматривать как проекции на ось х точек деления верхней полуокружности на п равных частей (см. рис. 29). Для любых трех углов а, р, y> связанных неравенством 0^а^р^7^я, справедливо неравенство cos а ^ гэ= cos р cos y, так как на интервале [0, я] косинус монотонно убывает (см. рис. 30). Угол, соответствующий k-щ корню многочлена Tn-i(x) (k = 1, 2,..., п), больше угла, соответствующего k-uy корню многочлена Тп(х), так как n(2k — 1)/(я — 1) > n(2k — 1)/я, но не больше угла, соответствующего (&+1)-му корню многочлена Тп(х). Следовательно, k-й корень х^ многочлена Тп^(х) заключен между k-м и (Л+1)-м корнями х™ и х™ многочлена Тп(х), поэтому корни связаны нера-
я+1
венством
y(n) y(n—1) у(п)
103
Нетрудно видеть, что в интервале [xf\ x^J нет други. корней многочлена Tn-i{x), кроме х^-и. Следовательно-в каждом таком интервале заключен один и только оди корень х{^-1), т. е. нули многочлена Tn-i(x) и Тп{х) дей ствительно перемежаются.
Одна из основных теорем алгебры многочленов была доказана французским математиком Этьеном Безу (1730—1783) и носит сейчас есо имя. Теорема Безу утверждает, что остаток от деления любого многочлена Р(х) на линейный двучлен х — а равен результату подстановки числа а в многочлен Р(х), т. е. числу Р(а), и, в частности, Р(х) делится на (х — а) тогда и только тогда, когда а — корень многочлена Р(х).
Доказательство теоремы Безу настолько кратко, а сама теорема настолько важна, что имеет смысл привести не только ее формулировку, но и доказательство.
Пусть Q(x)—частное, a R — остаток от деления Р(х) на (х — а). Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, то
Р(х) = (x-a)Q(x)+R.
Это соотношение должно выполняться при любых х, т. е. быть тождеством. Величина R не зависит от х, так как при делении одного многочлена на другой степень остатка должна быть меньше степени делителя, а в (х — а) переменная х входит в первой степени. При х — а выписанное выше равенство переходит в
Р(а) = (a-a)Q(a)+R,
откуда
R = Р(а),
и теорема Безу доказана.
