Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, рассмотрим еще раз нашу коллекцию, попол-
нив ее многочленом нулевой степени Ро(х) з= 1 (по при-
77
чине, о которой пойдет речь чуть дальше, в качестве
/ч/
Ро{х) можно было бы выбрать любую постоянную, отличную от нуля. Ни одна из таких постоянных не является наименее уклоняющейся от нуля: чему бы ни было равно значение с Ф 0, всегда найдется С\, такое, что |й| <
/ч/
Для удобства мы остановим свой выбор на Ро(х) = 1).
Итак, чем мы располагаем? Перечень известных уже многочленов включает:
Ро(х) = 1; Pi(x) = х;
Рг(х) =«а--у-» ~ 3 Р3(х) = х3--—х;
Р,(х) = х>-±-хз + -*-х. Их общие свойства можно свести к следующему.
/ч/
1. На интервале [—1, +1] все многочлены Рп{х) при п от 1 до 5 имеют ровно п различных нулей.
/ч/
2. Корни всех многочленов Рп(х) при п от 1 до 5 расположены симметрично относительно нуля.
/ч/ /ч/
3. Корни многочленов Рп(х) и Pn~i(x) при 2 ^ п <; ^ 5 перемежаются.
4. Коэффициент при старшем члене всех многочленов
/ч/
Рп (х) при п от 1 до 5 равен единице.
5. При 1 ^ п ^ 5 наибольшее уклонение многочлена
/ч>
Рп(х) от нуля равно 1/2"-1. 78
(И)
6. При 1 ^ п ^ 5 многочлен Ръ (х) достигает уклонения от нуля в /г + 1 точках.
7. В любых двух соседних точках, где многочлен
Рп(х) при п от 1 до 5 достигает уклонения от нуля, он принимает противоположные по знаку значения.
/ч/
8. Многочлены Рп(х) нечетной степени нечетны, многочлены четной степени четны.
Четным, как известно, называется число, делящееся на 2 (т. с. дающее при делении иа 2 остаток, равный нулю). Нечетным называется число, дающее при делении иа 2 остаток, равный единице. Все целые числа делятся иа два класса — иа четные н нечетные, не имеющие общих элементов. Это означает, что каждое целое число либо четно, либо нечетно н нет целых чисел, которые ис были бы четными или нечетными или были бы четными н нечетными одновременно.
В ином смысле понимают четность н нечетность функций. Функция j(x) называется четной, если j(x) = f(—x) (т. е. если се график симметричен относительно оси у; см. рис. 21,а). Функция f(x) называется нечетной, если j(x) = —/(—*) (т. е. если ее график симметричен относительно начала координат; см. рис. 21,6).
Задача 12. Докажите, что производная четного многочлена есть нечетный, многочлен, а производная нечетного многочлена — четный многочлен. (В действительности справедливо более общее утверждение: производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.)
Рис. 21. Четная (а) функция f(x) = /(— х) н нечетная (б) функция f(x) = - /'(- х).
79
Четные и нечетные функции не исчерпывают собой все функции: подавляющее большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции хя + х\ ех, log х и т. д.
Задача 13. Пусть /(х) — произвольная функция. Докажите, что се можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная.
Задача 14. Разложите в сумму четной и нечетной функций следующие функции: а) ех; б) sin2*; в) log(l + \х\); г) произвольный многочлен.
В перечне общих свойств, которые нам удалось подметить, обозревая нашу коллекцию многочленов (11), недостает одного важного пункта: общего соотношения, которое позволяло бы по уже известным многочленам находить новые многочлены, также наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [— 1, + 1] (мы начали с того, что построили многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на стандартном отрезке, при п от 1 до 3, и предоставили читателю испробовать свои силы в построении таких многочленов степени 4 и 5 (задачи 10 и 11)). Такое соотношение действительно существует, но мы вывод его отложим до следующей главы, а пока прикинем, как бы мы стали доказывать, что построенный с помощью пока неизвестного соотношения многочлен, обладающий теми же свойствами 1—8, что и многочлены (11), действительно является многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [— 1, + 1].
Итак, пусть Рп(х)—многочлен степени п, обладающий свойствами 1—9. Его уклонение от нуля равно 1/2п_1 (свойство 6). Пусть Qn(x) —многочлен с коэффициентом 1 при старшем члене, имеющий по предположению на отрезке [— 1, -4- 1] уклонение меньше 1/2™-». Это означает, что при всех х из отрезка [— 1, + 1]
|Qn(x)| < 1/2»-*,
т. е.
- 1/2»-» < Qn(x) < 1/2»-»
80
или
Qv(x) - 1/2»-» < О, Qn(x) + l/2«-i >0.
(12) (13)
Рассмотрим разность
Rn(x) = Qn(x) - Рн(х)
в п + 1 точках, в которых многочлен Рп(х) достигает уклонения от нуля (что таких точек п + 1, нам гарантирует свойство 7). Из неравенств (12) и (13) следует, что в этих точках знаки Rn(x) чередуются. Следовательно (почему?), между любыми соседними точками, в которых
многочлен Рп(х) достигает своего уклонения от нуля, находится по крайней мере один нуль разности Rn(x), т. е. Rn(x) имеет по крайней мере п нулей. Но так как
коэффициенты при старших членах Qn(x) и Рп(х) равны, то Rn(x) —многочлен степени не выше п— 1, следовательно, он не может обращаться в нуль п раз. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение (о существовании многочлена Qn(x) с уклонением от нуля на отрезке [—1, +1] меньше l/2n_1) неверно.
