Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
2ГП (*)[/„_,(*) = !/,„_, (х). Задача 76. Докажите, что при т > п
Um+n-i(x) + Um-7,-I{x) =2Tn(x)Um„l(x).
Задача 77. Докажите, что при т> п
(x) =2Tm(x)U Задача 78. Докажите, что при п ^ 1
2(1 -х*)?Л-.,(*) = \-2Тгп(х). Задача 79. Докажите, что
1
Г|(х) + Тг{х) + ... + Г,»-1(дс) = — Utn-i(x).
Задача 80. Докажите, что
2(1-**)[1М*) + ...+ !/,»(*)] = !-Г1»+»(х).
Задача 81. Докажите, что
2(1 -x^lUiix) +U3(x) + ... +t/m-iWl = х-Г1»+|(дс). НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Из формулы тригонометрического определения многочленов Тп(х) видно, что при любом п 1 график многочлена Чебышева первого рода не выходит из квадрата S со стороной, равной 2, и центром в начале координат (рис. 34). Размеры квадрата и его расположение относительно координатных осей обусловлены тем, что |.v| = | cos ф| ^ 1 и |cos (« arccos ф) I ^ 1.
Оказывается, что производные многочленов, графики которых не выходят из квадрата S, обладают удивительными свойствами, установленными при не менее удивительных обстоятельствах. Чтобы пояснить, о каких имеи-
118
но свойствах идет речь, начнем с одной задачи, которая в 1914 г. предлагалась на традиционной математической олимпиаде для выпускников средних школ (гимназий) в Венгрии [7].
Пусть на отрезке [— 1, + 1] график квадратного трехчлена Рг(х) = ах2 + Ьх -f- с не выходит из квадрата 5.
Рис. 34. Квадрат S, в котором заключены графики всех многочленов Чебышева.
у
*1
V/
0
.с
-1 1
Доказать, что его производная Р'2(х) —2ах-\-Ь на отрезке [—¦ 1, + 1} удовлетворяет неравенству
т. е.
— 4 < Р' (х) = Чах + Ь < + 4.
(34)
Так как Р'г (х) = 2ах -f- Ь — линейная функция, то своего наибольшего и наименьшего значений она достигает на концах отрезка [— 1, + 1]. Следовательно, неравенство (34) будет доказано, если мы установим, что ни одно из значений Р'г (— 1) = — 2а -f- b и Р'2 {х) = 2а -f- b не может быть больше 4 и меньше —4. Поскольку график квадратного трехчлена Рг{х) не выходит из квадрата S, значения, принимаемые им на концах и в середи-
119
нс отрезка [— 1, + 1], по абсолютной величине восходят единицы, т. е.
— 1 sC Рг(±. 1) = а±Ь + с^ + 1.
- 1 < ^г(О) = с < + 1.
Последнее неравенство равносильно неравенству + 1 ^ - Р2(0) = -с^ - 1,
т. е.
- ] ^ - с sC + 1. (36)
Складывая неравенство (36) с первым из неравенств (35), получаем
— 2^а±Ь<+2. (37)
Записывая неравенство (37) отдельно для а + b и а — Ь и складывая оба неравенства почленно, находим — 4 ^ <^ (а + Ь) + (а — Ь) ^ + 4, т. е.
- 2 а < + 2. (38)
Наконец, складывая почленно неравенства (37) и (38), приходим к неравенству
— 4 < 2а ± b ^ 4.
Оно означает, что
_4<Я'2(-1)
-4<Р'2(+1)
что и требовалось доказать.
Как придумываются математические задачи, в которых лаконизм формулировки сочетается с неожиданностью и глубиной сообщаемого математического факта, а за кажущейся простотой коварно таится неожиданная трудность, обычно не известно. Но ход мысли того, кто
не пре-} (35)
= 2а - Ь < + 4 = 2а -f- b < + 4,
120
предложил только что рассмотренную нами задачу, ясен: она составлена под явным влиянием работы «Об одном вопросе Д. И. Менделеева», опубликованной замечательным математиком А. А. Марковым (1856—1922) в 1889 г. Эта задача является частным случаем доказанной в этой работе следующей теоремы А. А. Маркова о многочленах Чебышева (первого рода): если многочлен степени п
Рп (х) = а0хп + аххп~1 + ... + an-ix + ап
с вещественными коэффициентами удовлетворяет на отрезке [— 1, + 1] неравенству
- 1 ^ Рп(х) ^ + 1,
то его производная Р' (х) удовлетворяет неравенству — п2^Р' (х) < п2.
Величина \ Р' (х) \ достигает своих предельных значений только на концах отрезка [— 1, + 1] в том и только в том случае, если Рп(х) = ± Тп(х), где Тп(х) —многочлен Чебышева первого рода степени п.
Решенная нами задача — частный случай теоремы А. А. Маркова при п = 2.
Какая же идея создателя знаменитой периодической системы химических элементов привела А. А. Маркова к формулировке и доказательству его теоремы? Путь к открытию еще одного свойства многочленов Чебышева на этот раз пролегал через ... исследование водных растворов спирта.
Среди многих работ Д. И. Менделеева (1834—1907), обогативших химическую науку, видное место занимает «Исследование водных растворов по удельному весу» (1887 г.), стоившее автору по его собственному признанию «наиболее труда» и бывшее «довольно канительным», впитавшее его мысли о физико-химической природе
121
растворов и привлекшее к изучению растворов многих молодых исследователей.
Свою работу Д. И. Менделеев посвятил памяти матери Марии Дмитриевны Менделеевой [18, с. 379]: «Это исследование посвящается памяти матери ее последышем. Она могла взрастить его только своим трудом, ведя заводское дело; воспитывала примером, исправляла любовью и, чтобы отдать науке, вывезла из Сибири, тратя последние средства и силы... завещала... настаивать в труде, а не в словах; и терпеливо искать... научную правду, ибо понимала, сколь многое еще должно узнать и как при помощи науки без насилия, любовно, но твердо, устраняются предрассудки, неправда и ошибки, а достигаются охрана добытой истины, свобода дальнейшего развития, общее благо и внутреннее благополучие. Заветы матери считает священными
