Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
\Р>п(х0)\ ^+-Мп\
Теорема 2. Пусть Рп(х) —многочлен степени п с вещественными коэффициентами, который обращается в нуль на одном из концов интервала [—1., +1]. Тогда
п
max | Р'п (х) | п2 cos max | Рп {х) \.
К результатам А. А. Маркова непосредственно примыкает и цикл исследований С. Н. Бернштейна (1880— 1968), составивших содержание его книги «Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной» [3].
Приведем основное неравенство С. Н. Бернштейна, открытое в 1912 г.: если S(f>) —тригонометрический многочлен порядка п, т. е.
S (f>) = ао + ai cos О + fei sin О + а-г cos2 Ф + + b2 sin 2f> -f-... + an cos + bn sin nO,
126
то max |S'(f})| sg; nmax |S(f>)|, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда
S (f>) = ап cos nf> -f bn sin nf>.
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Формальный ряд — это многочлен, который «не кончается», т. е. выражение вида
f(x) = а0 4- ачх 4- агх2 + ... + ап х* 4-...
Формальные ряды, как и обычные многочлены, можно складывать, вычитать, умножать и (при соблюдении известной осторожности) делить, дифференцировать почленно и интегрировать (по производной восстанавливать исходный одночлен).
Задать формальный ряд означает задать последовательность ао, аи ..., ап, ... его коэффициентов, для которых он по определению является производящей функцией. Например, для геометрической прогрессии с первым членом ао = а и знаменателем q (йк = qak-i) производящая функция имеет вид
f (х) — а0 4- aix 4- 4- • • • — = а 4- qx(a 4- qx 4-...) = а 4- qxf(x),
0ТКУДЗ f(x)=a/(l-qx). (39)
Выясним, как выглядит производящая функция для последовательности многочленов Чебышева первого рода T0(t), Ti(t), T2(t), ...
Итак, пусть
f(x) = 1 + xt 4- (*Tt{t) +'.-. + x»Tn(t) +...).
Каждый из многочленов Чебышева, стоящих в скобках, заменим разностью 2xTn-i(t) — Tn-z(t) (при п^2 такая замена возможна и определяется установленными нами рекуррентными соотношениями):
127
f{x) = 1 +x/ + 2/(7I(0x2+72(/)x3+...) -
- (ВДх2 + 7,(0x3 + ...) =
= \+xt + 2tx{f(x) - T0(t)) -x2-f(x) =
= 1 + tx + 2tx{f{x) - 1) -x2/(x),
откуда f (x) (x2 — 2tx + 1) = 1 и
/(x) = l/(x2-2/x + 1). (40)
Если формулу (40) рассматривать как сумму геометрической прогрессии (39), то, развернув ее в формальный ряд, мы получим Tn(t) как коэффициент при хп.
Существуют и другие, более сложные производящие функции, но развернуть их в формальный ряд сможет лишь умеющий дифференцировать. Такова, например, производящая функция
У х2 — 2(х + 1
= Щ1)х + Щ1) + г3(0 -|- +...
«Глазам нашим открылось столько чудес!» — воскликнул, завершая рассказ о необычайных приключениях в дебрях Амазонки, герой романа А. Конан Дойля «Затерянный мир» Тэд Мелоун. «Глазам нашим открылось столько чудес!» — можем эхом откликнуться мы, окидывая взглядом уже известные нам свойства многочленов Чебышева, по мир этих удивительных функций —¦ не островок, затерянный в бескрайних дебрях математического анализа. Многочлены Чебышева — не экспонаты музея математических редкостей, а гибкий и универсальный инструмент познания, активно применяемый современными исследователями.
3. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА И РЯДЫ ФУРЬЕ
ЧЕБЫШЕВСКИЙ БАЗИС
Во введении мы упоминали о том, что многочлены стойко сопротивляются внешним воздействиям: при умножении многочленов на числа и сложении получаются многочлены. Именно это свойство многочленов имеют в виду математики, когда говорят, что многочлены образуют линейное векторное пространство.
Говорилось во введении и о том, что линейное векторное пространство образуют не только все, но и некоторые многочлены, например многочлены степени не выше п при любом п ^ 0. Умножая многочлены на числа и складывая, мы получаем линейные комбинации многочленов. Если брать линейную комбинацию многочленов степени не выше п, то получится также многочлен степени не выше п (почему?). В частности, любой многочлен степени не выше п можно представить в виде линейной комбинации стандартных многочленов 1, х, хп. Именно так и выглядит привычная запись многочленов
an + щх + а%хг + ... + а„хп. (41)
Из основной теоремы алгебры следует, что линейная комбинация стандартных многочленов (41) тождественно равна нулю в том и только в том случае, если все коэффициенты а{ при i = 0, 1, ..., п равны нулю (почему?). Многочлены (функции, векторы и, вообще, элементы произвольного векторного пространства) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация
5 Зак. 568
129
равна нулю в том и только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. Так, стандартные многочлены 1, х, ..., хп линейно независимы. Многочлены, которые не являются линейно независимыми, называются линейно зависимыми. Если многочлены линейно зависимы, то их линейная комбинация обращается в нуль не только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. Например, многочлены 1, х, хп, рп(х), где рп(х) — любая линейная комбинация стандартных многочленов 1, х,..., хп, линейно зависимы. Если
