Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Д. Менделеев.»
Изучая на протяжении более 20 лет свойства растворов, Д. И. Менделеев пришел к убеждению, что «для понимания растворов следует преимущественно и точно изучить их удельный вес, как наиболее легко измеряемое механическое свойство, притом именно со стороны дифференциальной, т. е. следует изучить изменение удельного веса с переменою содержания» [18, с. IX].
Исследуя производные от плотности растворов s по процентному содержанию р спирта, Менделеев обратил внимание на изломанность прямых, «эти производные выражающих» (рис. 35). Оказалось, что скорость изменения плотности раствора s от процентного содержания спирта р описывается четырехзвенной ломаной: при изменении р от 0 до 17,556 процента
ds
-г- = - 17,991 + 0,3916р;
122
при Изменении р от 17,556 До 46 прбцентоЁ -0- = -4,0975- 0,3916р;
при изменении р от 46 до 88,462 процента ds
-^— = - 17,549 - 0,08866р;
р, % 10 20 Ю 40 50 60 ТО 80 90 С2Ц0
Н20
о
X
+
о
X?
о +
О •А
п=
+ о
3?
///
Рис. 35. Ломаные (I—IV) Д. И. Менделеева.
при изменении р от 88,462 до 100 процентов
-^- = + 8,192 -0,3916р. ар
Каждая вершина ломаной, по мнению Д. И. Менделеева, отвечает одному из «соединений спирта с водой». Это означает, что на каждом из четырех участков зависимость плотности раствора s от процентного содержания спирта имеет вид квадратного трехчлена, коэффициенты которого при рг и р мы найдем, читая «в обратную сторону» (справа налево) ньютоновскую формулу
(Ахп)' = Апхп~К
123
Неопределенным останется лишь свободный член квадратного трехчлена, т. е. восстановить параболу по производной мы можем лишь с точностью до ее сдвига вверх или вниз вдоль направления оси s. Но у левого квадратного трехчлена свободный член — значение s при р = 0 — совпадает с хорошо известной величиной — плотностью воды. Зная его, мы без труда найдем значение s на правом конце первого участка, которое равно значению, принимаемому вторым квадратным трехчленом на левом конце второго участка. Так, переходя от одного участка к другому, мы узнаем, чему равны недостающие свободные члены и тем самым получим формулы, выражающие зависимость плотности раствора от процентного содержания спирта: при р от 0 до 17,556 процента
s = 9991,6 - 17,99/? + 0.1958/?2; при изменении р от 17,556 до 46 процентов
s = 9868,4 - 4,0975/? - 0,1958/?2; при изменении р от 46 до 88,462 процента
s = 10166,6 - 17,549/? - 0.0443/?2; при изменении р от 88,462 до 100 процентов
s = 9074,9 + 8,192/? - 0,1958/?2.
Итак, главное — производные («весь лнтерес дела заключается в производных»), и Д. И. Менделеев ставит вопрос: если на отрезке [pi, /?г] по данным измерений построен квадратичный трехчлен s = Вр2-\-Ар -4- С с точностью до Д, то в каких пределах могут изменяться коэффициенты А, В, С, чтобы изменения s не превосходили ± Д?
Ответ на этот вопрос, сформулированный в общем виде, и был дан А. А. Марковым в его теореме о многочленах Чебышева. И снова мы видим, как математика,
124
черпая постановку задачи из одной области естествознания, отвлекаясь от ненужных деталей и обобщая, создает удобный инструмент исследования широкого класса задач, казалось бы, не имеющих ничего общего с первоначальной их постановкой.
Результат, полученный Л. Л. Марковым, был обобщен его братом В. А. Марковым (1871 — 1897), доказавшим в 1892 г. теорему для k-fi производной многочлена п-го порядка: пусть
Рп (х) = а0хп + аап~1 + ... + а„_1л: + ап есть многочлен степени п. Тогда на отрезке [—1, +1} max \Р™(х) I
^ ^-1,(^,...^-(t-,)4 max|Kw(
Величина P°^(x) достигает своих предельных значений в том и только в том случае, если Рп(х) = ЛТп(х), где Тп(х)—многочлен Чебышева первого рода степени п; А — постоянная.
Если первая производная есть скорость изменения величины, то вторая производная есть скорость изменения скорости, т. е. «ускорение», а k-я производная есть скорость изменения (k— 1)-й производной. Применяя k раз формулу Ньютона дифференцирования одночлена степени я, получаем
(*")<*> = я(л — 1) (я — 2) ... (я — А + I)*"-"-
Понижение порядка происходит до k = п, после чего все старшие производные тождественно равны нулю: скорость изменения постоянной величины равна нулю.
Теорема А. А. Маркова открыла целое направление интереснейших математических исследований. Среди тех, кто продолжил изучение неравенств для производных,
125
был й замечательный немецкий алгебраист и специалист по теории функций Иссаи Шур (1875—1941). В частности, ему удалось доказать две следующие теоремы.
Теорема 1. Если Рп(х) —многочлен степени п с вещественными коэффициентами и на отрезке [—1, + 1]
max \ Рп(х) | = М,
то
\Р'п(±1)\^Мп2.
Равенство достигается в том и только в том случае, если Рп(х) = АТп(х), где Тп(х) —многочлен Чебышева первого рода степени п; А — постоянная.
Если х0 — внутренняя точка максимума абсолютной величины Р'п (х) на отрезке [— 1, + 1], то при п ^ 3
