Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Величина г называется модулем, комплексного числа г. Угол ф называется аргументом комплексного числа z и определен с точностью до углов, кратных 360°, т. е. до полных поворотов. Найти модуль г можно по формуле
cos?=-l/y2; эхпф = 1/У2; Ф = 135° + п-360°,
где п — любое целое число (положительные числа соответствуют поворотам вокруг центра против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке). Модуль комплексного числа z = — 1 + i равен г =
(х,у) (рис.22).
У
Рнс. 22. Комплексная плоскость.
г = У*2 + *Л а аргумент ф— по формулам:
cos ф = x/r; sin ф = у/г. Например, при z = — 1 + i
= у(_,)2+12 = у2.
85
Равенство двух комплексных чисел Zi = х\ + iyi и z2 = х2 + гг/2 означает, что равны их вещественные и мнимые части, т. е.
Xi = х2\ yi = г/г.
В геометрическом представлении равенство двух комплексных чисел Zi и z2 означает совпадение соответствующих им точек комплексной плоскости. Совпадающие точки находятся на одинаковом расстоянии от начала координат и видны из него под одним и тем же углом к положительному направлению оси х. Это означает, что если равные комплексные числа Zi и z2 представлены в тригонометрической форме:
zi = ri(cos ф1 + i sin Ф1);
z2 = r2(cos фг + i sin фг),
то их модули равны, а аргументы отличаются на целое число полных оборотов (возможно, равное нулю): ri — г2; Ф1 — фг = л360°.
Вычислим теперь произведение комплексных чисел zi и z2:
ri (cos ф! + i sin Ф1) r% (cos фг + i sin фг) = = firt [ (cos ф1 cos фг — sin Ф1 sin фг) + + i (cos ф1 sin фг + sin Ф1 cos фг) ] = = rir2 (cos (ф! + фг) + i sin (ф! + фг)).
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения (с точностью до произвольного числа полных оборотов) — сумме аргументов сомножителей. В частности, если ri = r2 = 1 (т. е. сомножителям г4 и z2 соответствуют точки на единичной окружности с центром в начале координат), то умножение сводится к сложению аргументов, а точка, соответствующая произведению z3,
86
также лежит на единичной окружности (рис. 23). Следовательно, если
z = cosq> + isinq), (14)
то zn = cos tup -f- i sin гщ>. Но г" можно получить, возводя в степень п правую и левую части равенства (14). Это означает, что
cos жр + i sin жр = (cos ф + t sin Ф)
Полученная формула известна под названием формулы Муавра.
Рис. 23. Умножение комплексных чисел с единичным модулем.
Задача 21. Раскрывая правую часть формулы Муавра с помощью бинома Ньютона прн п, равном 2, 3, 4, 5, н используя условия равенства комплексных чисел, докажите, что
cos 2<р = cos2 <р — sin8 ф; cos Зф = cos3 ф — 3 cos ф sin ф; cos 4ф = cos* ф — 6 sin2 ф cos4 ф + sin4 ф; cos 5ф = cos5 ф — 10 sin2 ф cos3 ф + 5 sin4 ф cos ф
87
и
sin 2<r> = 2 sin ф cos tp; sin Зф = 3 sin ф cos2 ф — sin3 q>; sin 4ф = 4 sin ф cos3 ф — 4 sin3 ф cos ф; sin 5ф = 5 sin ф cos4 ф — 10 sin3 ф cos2 ф + sin5 ф.
Задача 22. Раскрывая правую часть формулы Муавра с помощью бинома Ньютона при произвольном целом п и используя условия равенства комплексных чисел, докажите, что при четных п = 2т
cos Нф = cos" ф — C2n sin2 ф cos"-2 ip + + С4 sin4 ф cos"-4 ф — ... + (— l)mC" sin" ф; (15)
sin иф = С1 sin ф cos"-1 ф — С3^ sin3 ф cos"-3 q> + ... + + (— \)т~1Сп-1 sin""1 ф cos ф,
п
а при нечетных n = 2m + 1
cos n ф = cos" ф — C2 sin2 ф cos"_a ф +
+ ?> sin4 ф cos"-4 ф + ... + (— lJroCjj-1 sin"-1 ф cos ф; (16)
sin пф = С1 sin ф cos"-1 ф — С3 sin3 ф cos"-3 ф + ... +
+ (— \)mC» sin" ф,
где С1 , С2 , ... и т. д.— биномиальные коэффициенты (числа
Ст "д(в"+1)...(в-т+1)
п 1-2-3...т
Формулы (15) и (16) помогут нам построить удивительные многочлены.
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА
Прежде всего напомним, что у = arccosx есть функция с областью определения [—1, +1], график которой представлен на рис. 24, а. Его мы получим, построив график функций х = cos у (рис. 24, б) и вырезав из него
88
сегмент от у = О до у = л. Функция у = arccos х обратна функции х = cos у. Итак, по определению arccos х — это дуга, заключенная в интервале от 0 до я, косинус которой равен х.
Рис. 24. Графики функций (/ = arccos х (а) и x=cos у (б).
Пусть теперь ф = arccos х. Из формул (15) и (16) следует
cos Щ = cos" ф — С2н 5Ш2ф cos"-2 ф +
+ &п sin4 ф cos"-4 Ф + .., (17)
89
Все sinq) входят в (17) только в четных степенях. Подставляя вместо sin2ftq)= (1 — eos2q))ft, получаем
cos щ = cos" ф — C?n (1 — cos2 ф) cosn~2 ф +
+ C4n(l — С052ф)2С05"-4ф + . . . (18)
Заметим, что это многочлен от cos ф. Но cos (arccos л:) =х, поэтому (18) — многочлен от х степени п, заданный на отрезке {— 1, + 1]. Он имеет специальное обозначение Тп(х) (Т — первая буква французского написания фамилии Чебышев — Tschebycheff) и называется многочленом Чебышева первого рода. Все свойства многочлена Тп(х) следуют из его определения:
Тп (х) = cos (п arccos х).
Таким образом, многочлены Чебышева первого рода — это по существу cos «ф, но относительно х это самые «настоящие» многочлены:
