Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рп(х) =-^zrTn(x).
Рис. 30. График функции у = cos х, обратной арккосинусу.
Итак, при любом 1 многочлен Рп(х) степени п, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [— 1, + 1], отличается от многочлена Чебышева первого рода Тп(х) только множителем 1/2"-1.
Задача 45. Зная явный вид многочленов Рп(х), наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1], проверьте, что они при любом п ^ 1 обладают свойствами 1—8, установленными в первой
главе, из «наблюдений» за первыми пятью многочленами Рп (х).
Итак, наше знакомство с многочленами Чебышева персого рода привело к важному открытию (сделанному
108
задолго до нас П. Л. Чебышевым): при любом п ^ 1 из всех многочленов степени п с коэффициентом 1 при старшем члене наименее уклоняется от нуля многочлен
Рп(х) =-Л-гТп(х),
(где Тп(х)—многочлен Чебышева первого рода степе-
ни п) и только многочлен Рп(х). Этим свойством многочлены Чебышева выделяются среди всех многочленов. Учитывая уникальное их свойство, продолжим изучение многочленов Тп{х).
ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ
Определим те значения х на отрезке [— 1, + 1], в которых Т„(х) = ± 1. Так как
Т„(х) = cos(п arccos х),
то
Тп(х) =
+ 1 при п arccos х = 2kn, — 1 при п arccos х = (2k + 1 )я,
где k — 0, 1,2,..., откуда при п arccos xm = mzi Tn{xm) = (-1)™
и
Im \ xm = cos y — n J ,
где m = 0, 1, т. e.
л 2л ,
Xq = 1, Xi = cos—, x2 = cos-, ..., xn = — I.
n n
Задача 46. Проверьте, что иа отрезке [— 1, + 1J многочлен 7",, (дг) достигает своего уклонения от нуля в п + 1 точках отрезка [- 1, + И-
Задача 47. Докажите, что уклонения многочлена Тп (х) имеют 9 соседних точках противоположные знаки.
109
Задача 48. Докажите, что в промежутках между точками, в которых многочлен Тп(х) достигает своего уклонения от нуля на отрезке [—1, + 1], он изменяется монотонно, т. е. либо только возрастает, либо только убывает.
Обратимся к прозрачному цилиндру, на боковой поверхности которого начерчена косинусоида (см. рис. 26). Если смотреть на цилиндр* сверху, то он спроектируется в окружность. Точки экстремумов (максимумы и минимумы) косинуса расположены в вершинах правильного
I t
Т2(х) Т3(х)
Рис. 31. Нули и экстремумы многочленов Чебышева Тп(х).
ПО
вписанного 2п-угольника, две вершины которого совпадают с концами горизонтального диаметра. Нули косинуса расположены в вершинах такого же 2п-угольника, повернутого относительно первого на угол л/п (на рис. 31 показаны такие 2п-угольники при п = 2 и п = 3). При проектировании (напомним, что мы рассматриваем цилиндр сбоку с такой точки, откуда косинусоида на ближней половине поверхности цилиндра совмещается с косинусоидой на его дальней половине) точки экстремумов дают точки, в которых Тп (х) достигает своего уклонения от нуля, а нули косинуса переходят в нули многочлена Тп(х) (на рис. 31 точки, в которых Тп{х) достигает своего уклонения от нуля, и соответствующие им вершины 2п-угольников, помечены светлыми кружками, а нули — крестиками).
ПРОИЗВОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА
Многочлены Чебышева первого рода Тп{х) можно вычислять исходя из их записи при любом заданном п,
т. е. можно строить и многочлены Рп{х), наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [—¦ 1, + Ц-
Оказывается, однако, что производные многочленов
Таблица 1
п
Г„(«)
1
X
1
2
2х2- 1
4х
3
4х3 — Зх
12Х» - 3
4
8х4 - 8х2 + 1
32xs- 16х
5
16х5 — 20хэ + 5х
80х4 — 60х2 + 5
111
Тп(х) обладают не менее удивительными свойствами. Вычислим их по формуле
Р'п (х) = a0nx"-i + а,(п - \ )хп~2 + ... + a„_i.
Результаты вычислений приведены в табл. 1. Интересно сравнить графики Тп(х) и Т'п(х). Если
Тп(х) рассматривать как закон, по которому некоторое
Т,(х)
*1 х
Рис. 32. Графики многочлена Чебышева Ti(x) и его производной.
тело удаляется от начального положения в зависимости от времени х, то Т (х) определяет скорость этого тела
как функцию времени х.
Начнем с п = 1 (рис. 32). Так как Ti(x) = х, т. е. удаление от начала отсчета пропорционально времени х, то движение равномерно, т. е. скорость постоянна. Это и показано на нижнем графике.
Так как Тг(х) =2х2—1, зависимость удаления от времени квадратична, как в случае равноускоренного движения (например, свободного падения): постоянно ускорение, а скорость пропорциональна времени, т. е. Т'2{х) — линейная функция (рис. 33, а).
112
На рис. 33, б, в представлены более сложные «законы движения», соответствующие Тз(х) и Ть(х), и законы изменения скорости Т'3(х) и Т'^(х).
Многочлены Un{x) — (l/(n+ 1))^ (х) называются
многочленами Чебышева второго рода. Их графики с точ-
0 У «у 6 У
Рис. 33. Графики многочленов Чебышева Т2(х) и Т3(х) и их производных.
ностью до множителя l/(n+ 1) при п = 1, 2, 3 приведены на рис. 33 (внизу).
Выпишем в явном виде первые пять многочленов Чебышева второго рода:
U0{x) = 1;
113
иг(х) = 4л:2 — 1;
Us(x) = 8x3 -Ах; Ui(x) = 16л-4— 12л-2 + 1; Ub(x) = 32л-5 - 32л-3 + 6л-.
