Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, многочлен Рп(х) со свойствами 1—9 действительно по праву займет место в нашей коллекции многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрез-
— А как все-таки можно было бы угадать таинственное соотношение между многочленами, вывод которого отложен до следующей главы? — спросит нетерпеливый читатель,— Неужели это так трудно?
— Совсем не трудно,— ответили бы мы.— Более того, такие соотношения можно было бы конструировать «на заказ», выбирая те известные многочлены, по которым можно было бы построить новый многочлен более высокой степени.
ке [- 1, + 1].
81
Например, если нам нужна формула, которая давала
бы многочлен Рп+\{х) по известным многочленам Рп(х)
и Рп-х(х), то проще всего было бы испытать «кандидата» в соотношение, начинающегося так:
Pll+i(x) = хРп(х) + aPn-i(x). Действительно, так как нас интересуют только многочлены с коэффициентом 1 при старшем члене, то Рп(х)
можно только умножать на х; второй же член aPn-i(x) введен нами в надежде компенсировать «лишние» члены
произведения хРп(х).
Задана 15. Проверьте, что при п от 1 до 5 многочлены Рп(х) удовлетворяют соотношению
Pn+i(x) = хРп(х) - l/4P„_i.
Но это для наиболее нетерпеливых читателей. Обстоятельным выводом соотношений, аналогичных приведенному в задаче 15, мы займемся в следующей главе.
В заключение этой главы необходимо отметить еще
одно свойство многочленов Рп(х), наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + !]•' каждый из них единственен. Рассуждая примерно так же, как при доказательстве того, что не существует многочлен степени п, уклонение которого от нуля на отрезке [— 1, +1] меньше l/2n_1, можно доказать следующее утверждение, сформулированное в виде задачи.
/ЧУ
Задана 16. Докажите, что Рп(х) при п от 1 до 5 —единственные многочлены с коэффициентом 1 при старшем члене, уклоняющиеся от нуля на отрезке I— 1, + 1] на 1/2"-*.
82
Все утверждения в основном тексте, задачах и примечаниях,
сформулированные для Рп(х) при п от 1 до 5, в действительности нерны и при любых п > 5.
Возможно, у кого-нибудь из читателей появится желание узнать о том, что можно сказать о верхней границе уклонения от нуля на отрезке для многочленов с коэффициентом 1 при старшем члене. Удовлетворить свою любознательность такой читатель сможет, решив следующие задачи (с помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше).
Задача 17. Докажите, что уклонение от нуля на отрезке [а, Ь], где а и Ь — произвольные числа, а < Ь, многочленов Рп (х) степени я с коэффициентом 1 при старшем члене не превосходит 2((Ь — а)/4)".
Задача 18. Докажите, что из всех многочленов степени п с коэффициентом 1 при старшем члене уклонения 2((Ь — а)/4)" от нуля на отрезке [а, о], где а и b — произвольные числа, а < Ь, достигает многочлен
« / Ь-а \"~ Г 2 I
P„W=2(—) p.|__(,-e)-l],
где Рп (х) — многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке
Задача 19. Докажите, что значения многочленов Рп (х) достаточно высокой степени п могут быть меньше любого в > 0 на всем отрезке [a, b], а < Ь, в том и только в том случае, если b — а < 4.
Задача 20. Каково минимальное значение п*, начиная с которого все многочлены Р„(х) степени п с коэффициентом 1 при старшем члене принимают на отрезке [л, л+\] значения, меньше (0,1)1984.
2. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА
ФОРМУЛА МУАВРА
Для дальнейшего нам необходимо научиться выражать cos «ф при любом целом п через coscp и sincp. Сделать это проще всего изучая комплексные числа в тригонометрической форме.
Необычайные свойства мнимых чисел и парадоксы, возникавшие от неосторожного обращения с ними, сначала смущали даже таких корифеев математики, как Лейбниц, который отзывался о них (1702 г.), как о «чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся почти между бытием и небытием» [19, с. 7].
После того как математики пережили «потрясение», связанное с введением мнимых чисел, дающих при возведении в квадрат отрицательные числа, и научились правильно обращаться с комплексными числами, выяснилось, что нововведение необычайно плодотворно. Оно позволило не только упростить решение традиционных геометрических и алгебраических задач, но и привело к созданию нового раздела математики — теории функций комплексного переменного. Комплексные числа позволили по-новому взглянуть на многие задачи и установить взаимосвязь между, казалось бы, весьма далекими понятиями. В наше время комплексные числа стали привычным орудием математика, физика и инженера, которые оперируют ими весьма уверенно.
Комплексные числа принято изображать в виде точек плоскости: комплексному числу z = х -f- iу ставят в соот-
84
ветствие точку плоскости с декартовыми координатами
С геометрическим представлением комплексных чисел связано их представление в тригонометрической форме, которое понадобится нам в дальнейшем. Пусть г — расстояние от начала координат О до точки \х, у), а ф — угол между положительным направлением оси х и прямой Oz (см. рис. 22). Тогда х = г cos <р, у = г sin ср, откуда z = r(cos ф + 1 sin ф)-
