Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Шх)\ < 1/4. Данное неравенство означает, что
- 1/4 < Q3(x) < + 1/4 (8)
или
Q3(x) - 1/4 < 0, | Q3(x) + 1/4 > 0. J Рассмотрим теперь разность
Rs(x) = Q3(x) — Рз(х).
Нетрудно видеть, что R3(x) — многочлен, причем степени
не выше 2 (старшие члены многочленов Q3(x) и Р3(х) входят в R3(x) с противоположными знаками и взаимно уничтожаются). Значения, принимаемые многочленом
Р3(х) в точках — 1, — 1/2, + 1/2, + 1, нам известны
74
(см. (7)). Пользуясь неравенствами (8) и (9), определяем знаки разности Яз(х) в этих точках:
Мы видим, что на концах отрезков [— 1, — 1/2], [— 1/2, + 1/2], [+ 1/2, + 1] разность Р,з(х) принимает значения противоположных знаков. По следствию из теоремы о промежуточном значении на каждом из этих отрезков разность Яз(х) должна обращаться в нуль по крайней мере один раз, что невозможно, так как Р*з(х) — многочлен степени не выше 2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение (о существовании кубического многочлена, допускающего на отрезке [— 1, +1] уклонение от нуля меньше 1/4) неверно. Следовательно, многочлен
наименее уклоняется от нуля на отрезке [—1, +1] среди всех кубических многочленов. Итак, наша коллекция пополнилась еще одним экспонатом — кубическим многочленом (10).
Задача 10. Докажите, что многочлен
обладает наименьшим уклонением от нуля на отрезке [—1, +1] среди всех многочленон степени 4 с коэффициентом при старшем члене, равным единице.
Задача Л. Докажите, что многочлен
#з(- 1) = Q3(- 1) - (- 1/4) > 0; Дз(- 1/2) = Q3(- 1/2) - (1/4) <0; Дз(+ 1/2) = <2з(+ 1/2) - (- 1/4) > 0; #з(+ 1) = Q3(+ 1) - (1/4) <0.
3
(10)
Pi(x) =х*-х2+1/8
5
Рй(х) = х5--х3 +
5
х
4
16
75
обладает наименьшим отклонением от нуля на отрезке [—1, + 1] среди всех многочленов степени 4 с коэффициентом при старшем члене, равным единице.
Наша коллекция многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. расширилась настолько, что мы можем попытаться найти некие общие свойства таких многочленов, которые бы были полезны сами по себе и облегчили бы нам дальнейший поиск многочленов, наименее уклоняющихся от нуля.
Тем, кто привык считать, будто математики занимаются в основном тем, что «доказывают теоремы», экспериментальный подход—поиск общей закономерности в массе частных примеров, рассуждения на эвристическом уровне, использование аналогий, словом все то, чем обычно пользуется естествоиспытатель,— может показаться несовместимым с высокими требованиями, предъявляемыми ныне к математической строгости. Не будем торопиться с выводами! Речь идет не о замене строгих доказательств эвристическими рассуждениями, а о том, как найти именно то, что затем будет доказано с безукоризненной строгостью (эвристическим (от греческого «эврика»—«открыл!») принято называть правдоподобное рассуждение, не имеющее доказательной силы, но помогающее понять основные пружины строгого доказательства).
Намереваясь извлечь из рассмотрения нашей коллекции путеводную нить к общим результатам, мы идем по стопам многих великих математиков, в частности Леонарда Эйлера. В специальной работе «Образец использования наблюдений в чистой математике» он писал: «Покажется немало парадоксальным приписывать большое значение наблюдениям даже в той части математических паук, которая обычно называется чистой математикой, так как существует распространенное мнение, что наблюдения ограничиваются физическими объектами, которые воздействуют на паши чувства. Поскольку мы
76
должны относить числа к одному лишь чистому разуму, мы едва ли можем понять, как наблюдения и квазиэксперименты могут быть полезны в исследовании природы чисел. Однако в действительности, как я здесь покажу, приведя очень веские доводы, свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путем наблюдений и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы все еще не в состоянии доказать; только наблюдения привели нас к их познанию...
...В теории чисел, которая все еще очень несовершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения; они непрерывно будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и все еще не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобретается индукцией. Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открыли путем наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией. В действительности мы должны пользоваться таким открытием, как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы можем «научиться кое-чему полезному» [21, с. 21].
Все сказанное Л. Эйлером относительно теории чисел в равной мере относится и к любому другому разделу математики, в частности, к теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1] с коэффициентом при старшем члене, равным единице.
