Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
нения от нуля квадратного трехчлена Рг(х), равного (почему?)
Р2(х) =x* + px + q
Р2(+1) = -Р2(- 1)
2
66
|(.+р+;)-(4-ч+«)1 l-fji+01
2 2
По предположению 0 ^ р/2 < 1, поэтому уклонение от нуля достигает наименьшего значения 1/2 при р = 0.
Если Я(- р/2) = - Pz{+ 1), то q = - 1/2.
Итак, из всех квадратных трехчленов наименее уклоняется от нуля на отрезке [—1, +1] квадратный трехчлен
Р2(Х) = *= — 1/2 (рис. 15). Его уклонение равно 1/2.
Рис. 15. График квадратного трехчлена Рг(х) = х2 — 1/2, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [— 1, + 1].
Итак, мы начали строить нашу коллекцию многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Правда, пока множество таких многочленов более чем скромно и насчитывает всего лишь два элемента — линейный и квадратичный многочлены наименьшего уклонения. Прежде чем мы продолжим пополнение коллекции, уместно вспомнить одно важное свойство всех многочленов, которое понадобится нам в дальнейшем:
67
любой многочлен непрерывен на всей вещественной оси и, следовательно, на любом ее отрезке.
Функция непрерывна, если ее график можно изобразить единым росчерком, ие отрывая пера от бумаги. Строгое определение функции, непрерывной в точке (известное под названием е — 5-опреде-леиня), основано па том, что при достаточно малом отклонении аргументов значения непрерывной функции отличаются меньше, чем на любую сколь угодно малую величину.
Для функции, терпящей в точке разрыв, это иеверио. Значения ее в сколь угодно близких точках, расположенных по разные стороны от точки разрыва, не могут отличаться сколь угодно мало. Если эти точки сближать так, чтобы они все время оставались по обе стороны разрыва, то разность значений функции в них будет стремиться к величине разрыва — конечной или бесконечной.
Итак, определим, что такое функция, непрерывная в точке. Назовем б-окрестностью точки Хц все х, отстоящие от хо меньше, чем на б, т. е. удовлетворяющие неравенству \х — х0\ < б. Аналогичным образом назовем е-окрестиостью точки f(xo) все fix), отличающиеся от f(xa) меньше, чем на е, т. е. удовлетворяющие неравенству \f(x) — -i(xo) \ < е.
Функция f(x) называется непрерывной в точке Хо, если для любого е > 0 существует такое б > О, что для всех х из б-окрест-иости точки хо значения f(x) принадлежат е-окрестиости точки f(xo) (рис. 16) (точки х и Ха принадлежат области определения функции f{x)).
Функция, непрерывная в каждой точке отрезка, называется непрерывной иа отрезке (отрезок может быть конечным, полубескоиеч-иым (лучом) или совпадать со всей вещественной осью).
Рис. 16. Функция, непрерывная в точке хо (е — б-определение).
68
Для непрерывных функции верна теорема о промежуточном значении: если функция f непрерывна на отрезке и принимает в его точках а и b различные значения, то любое число с, заключенное между f(a) и f{b), совпадает со значением, которое функция / принимает по крайней мере в одной точке х0, заключенной между а и Ъ (рис. 17; для определенности будем считать, что Ь ~> а).
С теоремой о непрерывной функции, даже не подозревая этого, имел дело каждый, кому хоть раз в жизни приходилось перебираться с одного берега реки на другой. Утверждение теоремы по существу сводится к житейской мудрости: нельзя перейти вброд реку, не замочив ноги (если не перепрыгивать с берега на берег). Роль «реки» в формулировке теоремы играет прямая у = с, по одну сторону от которой («на одном берегу») лежит значение }(а), по другую — значение f(b). Точка х0 указывает, где кривая f(x) пересекает прямую у — с (сколько непрерывной кривой ни виться, а прямой у = с не миновать!).
Из теоремы о промежуточном значении вытекает важное следствие: если функция / непрерывна па отрезке и принимает в его точках а и b противоположные по знаку значения, то по крайней мере в одной точке х0, заключенной между а и Ь, функция / обращается в нуль.
69
Оговорки «по крайней мере» в формулировке теоре мы о промежуточном значении и следствия существенны: поскольку речь идет о произвольной непрерывной функции, заранее неизвестно, сколько раз она «форсирует водную преграду» — пересекает прямую у — с. Теорема утверждает, что число переходов с одного «берега» на другой всегда не меньше одного, но не устанавливает никаких ограничений на их число.
Задача 5. Докажите, что если после неоднократного форсирования реки вы оказались на том же берегу, на котором находились сначала, то число переходов с берега на берег четно.
Задача 6. Докажите, что если после неоднократного форсирования реки вы оказались на противоположном берегу, то число переходов с берега на берег нечетно.
Задача 7. Пусть непрерывная функция f(x) задана иа отрезке [а, Ь], отлична от нуля и имеет постоянный знак, как в некоторой окрестности левого конца х = а, так и в некоторой окрестности правого конца х = b отрезка. Докажите, что па отрезке [а, Ь] функция f(x) меняет знак четное число раз при f(a)f(b) > 0 и нечетное число раз при f(a)f(b) < 0.
В действительности любой многочлен не только непрерывен, но и дифференцируем на всей вещественной оси и, следовательно, на любом ее отрезке.
