Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с многочленов первой степени (линейных). Требуется среди всех многочленов
Pi(x) = х -f- а
найти такой, уклонение которого на отрезке [—1, -f- 1] минимально. График такого многочлена представляет собой прямую, образующую с положительным направлением оси х угол 45° и отсекающую на оси у отрезок, длина которого равна абсолютной величине коэффициента а (рис. 12). Нетрудно видеть, что уклонение такого многочлена от нуля достигается либо на левом, либо на пра-
61
вом конце отрезка (— 1, + 1], и равно наибольшему из чисел \Р(- 1)|, \Р(+ 1)|, т. е.
тах(|Р(-1)|, |Р(+1)|).
В этой книге, как и во всей математической литературе, оборот «нетрудно видеть» следует понимать в особом смысле — как приглашение попытаться самостоятельно ответить на вопрос «почему?».
Так как |Р(— 1) | +1Р{+ 1) | = 2 (почему?), то наименьшее уклонение равно 1 (почему?). Следовательно, на отрезке [—1, +1] наименьшим уклонением от нуля обладает многочлен
Pi(х) = х
(почему?). График его представлен па рис. 13.
Приведем нестрогий аргумент, подкрепляющий приведенные выше числа. Представьте себе, что вы идете по коридору шириной 2 м. Тогда уклонение от стенки по аналогии с уклонением от пуля есть наибольшее расстояние от стенки. Сумма расстояний от вас до стенки всегда равна 2 м. Чтобы свести до минимума уклонение от стенки, надо идти строго посреди коридора: тогда уклонение равно 1 м.
62
Задача 4. Предположим, что Q„ (х) — многочлен степени л, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь]. Можно ли, и если можно, то как, получить из него многочлен степени и, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [с, d\?
Столь же просто можно найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля, среди квадратных трехчленов
Р*(х) = х* + рх + q. (6)
И в этом случае необходимо лишь «идти строго посредине коридора». График квадратного трехлена (6), который удобно представить в виде
Рг(х) = (х + Р/2)2 + q - рЩ,
имеет вид параболы с вершимой в точке х = — р/2 (ордината вершины равна у = q — р2!^) и ветвями, обращенными вверх.
Рассмотрим два случая.
1. Вершина параболы лежит вне отрезка [—1, + 1] или совпадает с одним из его концов: |р/2] ^ 1 (рис. 14, а) либо слева (парабола /), либо справа (парабола 2). На отрезке [— 1, + U парабола / монотонно возрастает (т. е. для любых Х{ и Хг, удовлетворяющих неравенству Хг > Jfi, значения квадратного трехчлена
63
Рг(х) связаны тем же неравенством Рг{хг) > Pzixi)), а парабола 2 монотонно убывает (т. е. для любых двух xi и Хг, удовлетворяющих неравенству хг > xi, значения квадратного трехчлена Рг(х) связаны обратным неравенством Рг{хг) < Pz(Xi)). Все рассуждения, приводимые ниже для параболы 1, целиком переносятся на параболу 2, и во избежание повторений мы их опускаем.
Рис. 14. Параболы y=x2+px+q с вершинами, лежащими вне отрезка [—1, +1] (а) и вершиной, лежащей на отрезке [—1, +1] (б).
Уклонение от нуля многочлена Рг(х) равно наибольшему из чисел \Рг{— 1) | и |/эг(+ 1) |, т. с.
тах(|Ра(-1)|, |Ра(+1)|)
(почему? сравните с Pi(x)).
Рассмотрим еще один квадратный трехчлен
л,х)_А(1)_Л?Уп')1+Ж+Я1 -
2
= х2 + рх + q.
64
График Pz(x) отличается от графика Р2(х) сдвигом вдоль оси у на величину (|Р2(— 1) | + ]Р2(+ 1) |)/2,
в результате которого концы отрезка графика Рг{х) стали равноудаленными от оси х:
Ы+ 1) = 1) - l^-ni + lftt+Dl =
Рг(+ 1) -Рг(-\)
Рг(- 1) = /М- 1)
2
|/M-l)| + |/M+l)|
2
_ Яа(— 1) — Яа(+ 1) 2
Р2(+ 1) = -Р2(- 1). Сдвиг вдоль оси у не нарушил монотонность (почему?): если *2 > то Рг(Хг) > />2(*i). Нетрудно видеть, что
уклонение многочлена Рг(х) от нуля не больше уклонения многочлена Рг(х). Следовательно, уклонение от нуля многочлена Рг{х) не меньше уклонения от нуля многочлена Рг(х), а оно равно
|?2(+ 1) -Рг{- 1)|
2
(1+р + Й - (1 - P + J)|
= IP
По предположению |р/2| ^ 1. Следовательно, уклонение \р\ ^ 2.
3 Зак. 568 65
2. Вершина параболы лежит внутри отрезка [— 1, + 1]: |р/2| < 1 (для определенности будем считать, что вершина х = — р/2 параболы лежит в левой половине отрезка (рис. 14,6), т. е. что — 1 < — р/2 ^ 0 или 0^рУ2<1; рассуждения для случая, когда вершина параболы лежит в правой половине отрезка, т. е. выполняется неравенство 0 ^ — р/2 < 1, проводятся аналогично, и во избежание повторений мы их опускаем).
Нетрудно проверить, что выполняется неравенство
|/М+ 1) - Рг{~ Р/2) | ^ \Рг(~ 1). - Рг(~ р/2) |
(обратите внимание, что вершина параболы х = р/2 разбивает отрезок {—1, + 1] на участки монотонности: на участке [—1, — р/2] квадратный трехчлен Рг[х) монотонно убывает, на участке [— р/2, + 1] монотонно возрастает. Сравните длину участков: какой из них длиннее?).
Как и в предыдущем случае, сдвинем график квадратного трехчлена Pi(x) в направлении оси у так, чтобы концевые точки графика квадратного трехчлена
были симметрично расположены относительно оси х, т. с. чтобы
(на какую величину надо для этого сдвинуть график Р2(д;)?). От произведенного сдвига уклонение от нуля только уменьшится (почему?). Следовательно, уклонение от нуля квадратного трехчлена Pi{x) не меньше укло-
