Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
И все же, сколь ни интересны были все эти (и многие другие) результаты, «до изобретения анализа бесконечно малых», по словам П. Л. Чебышева, были только частные примеры решения таких (на наибольшее и наименьшее значение) задач; но в этих решениях уже было начало повой, важнейшей отрасли математических наук, известной под названием дифференциального исчисления. Чтобы показать влияние вопросов о наибольших и наименьших величинах на открытие математического анализа, П. Л. Чебышев приводит то место из «Математических оснований натуральной философии», где Ньютон говорит «о начале этого открытия, которого приложения и результаты теперь неисчислимы»: «Лет десять тому назад (в 1677 г.), когда я вел переписку с весьма ученым геометром Лейбницем, я написал к нему, что имею способ для определения наибольших и наименьших величин,
52
для проведения касательных и для решения других подобных вопросов и что способ мой с таким же удобством может быть употреблен для уравнений, заключающих в себе радикалы, как и для рациональных. Я скрыл тогда свой способ под переставленными буквами, которых значение было следующее: дано уравнение, заключающее в себя сколько угодно количеств текущих, найти поток (по терминологии Ньютона производная, т. е. скорость изменения величины, называлась флюксией, а сама величина — флюентой.— Ю. Д.), и наоборот. На это знаменитый Лейбниц отвечал, что со своей стороны он нашел подобный способ и сообщил мне его в том же письме. Этот способ отличался от моего только названием и зна-коноложением» [29, с. 151].
Приведенный отрывок нз «Математических начал» Ньютона перепел иа русский язык П. Л. Чебышев. Полиостью великое сочинение Пьютоиа было переведено А. Н. Крыловым и издавалось дважды. В переводе А. Н. Крылова это место звучит несколько иначе: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г. В. Лейбницем, я ему сообщил, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково ириложимою как для членов рациональных, так и иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего предложения: «data equatione quotcumque fluentes quantitatcs involvente fluxiones invenire et vice versa» (когда задано уравнение, содержащее любое число переменных количеств, найти флюксии и наоборот). Знаменитейший муж отвечал мне, что ои также иапал иа такую методу, н сообщил мне свою методу, которая оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами н начертанием формул» [20, с. 299].
Анаграмма (т. е. формула открытия с переставленными буквами) Ньютона выглядела так: 6а, 2с, d, ae, I3e, 2f, 7i, 31, 9n, 4о, 4q, 2r, 2s, 9t, 12v, x.
По сравнению с прежними подходами, позволявшими находить пусть даже изящные решения отдельных задач, дифференциальное исчисление Ньютона — Лейбница обладало весьма существенным преимуществом: предлагаемый им алгоритм решения задач на максимумы и ми-
53
иимумы носил массовый характер (как и подобает алгоритму), не был «привязан» и не использовал индивидуальные особенности задачи, столь необходимые при прежних искусственных подходах.
Сущность своего метода флюксий Ньютон изложил во введении к трактату «О квадратуре кривых» (1704 г.): «Я рассматриваю здесь математические количества не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением. Линии описываются и по мере описания образуются не приложением частей, а непрерывным движением точек, поверхности — движением линий, объемы — движением поверхностей, углы — вращением сторон, времена — непрерывным течением и т. д.
Такое происхождение имеет место и на самом деле и в самой природе вещей и наблюдается ежедневно при движении тел. Подобным образом древние объясняли происхождение прямоугольников, ведя подвижные прямые линии по неподвижным.
Замечая, что нарастающие количества, образующиеся по мере нарастания в равные времена сообразно большей или меньшей скорости их нарастания оказываются большими или меньшими, я изыскивал способы определения самих количеств по той скорости движения или нарастания, с которой они образуются.
Назвав скорости этих движений, или нарастаний, флюксиями, образуемые же количества флюентами, я постепенно пришел около 1665 и 1666 годов к методу флюксий, которые я прилагаю здесь к квадратуре кривых. Флюксии приблизительно пропорциональны приращениям флюент, образующимся в равные весьма малые промежутки времени или, точнее говоря, находятся в предельном отношении зарождающихся приращений и могут быть представлены какими угодно линиями этим приращениям пропорциональными» [20, с. 65].
Вот как вычислял, например, Ньютон производную
54
от хп\ «Количество хп течет равномерно, надо найти флюксию количества хп.
В то время как количество х при своем течении обратится в х -f h, количество хп обратится в {x-\-h)n, т. е. но нашему способу ... в хп + n/u'"-1 + ..., приращения h и nhx11-1 -f-... относятся друг к другу, как 1 к пхп~1 + ... . Когда эти приращения исчезнут (т. е. обратятся в нуль.—10. Д.), то их предельное отношение будет равно отношению 1 к пхп~*, поэтому флюксия х так относится к флюксии хп, как 1 к пхп~Н [20, с. 67—68].
