Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Но и мощным методам дифференциального и интегрального исчислений, некогда бывшим «тайным оружием» узкого круга знатоков новой математики, а со временем ставшим достоянием необъятной армии инженеров, посильна далеко не каждая задача на максимум и минимум.
Говоря словами П. Л. Чебышева, практика идет далее и требует решения задач о наибольших и наименьших величинах еще нового рода, существенно отличного от тех двух, которые решаются в дифференциальном и вариационном исчислениях.
К числу таких новых задач и принадлежала задача, к которой П. Л. Чебышев свел проблему усовершенствования механизмов, известных под названием параллелограммов. Она была столь же «неслыханной и прекрасной», как некогда задача о брахистохроне, и требовала
58
для своего решения нового метода — заведомо «неслыханного» и по возможности прекрасного. И такой метод действительно был создан П. Л. Чебышевым и получил заслуженно высокую оценку выдающихся математиков своего времени.
Своеобразие постановки чебышевской задачи о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля па отрезке, состоит в том, что она сводится к отысканию наименьшего среди наибольших значений, или минимума максимумов — сокращенно минимакса.
Во избежание недоразумений заметим, что н действительности безразлично, на каком именно отрезке [а, Ь] мы будем решать чебы-
шсвскую задачу: па отрезке [0, 1], [—1, 1] или [у2, я]. От отрезка [ч, Ь] к отрезку [с, d] можно перейти, выполнив замену переменной
1
2 =-[(d - с)х -f- (be - ad)].
b — а
Нетрудно проверить, что когда переменная х «пробегает» отрезок [а, о], переменная z «пробегает» отрезок [с, d], и что соответствие между отрезками [а, Ь] и [с, d], устанавливаемое приведенной формулой, однозначно.
Задача 1. Найдите обратную замену переменных, переводящую отрезок [с, d] в отрезок [а, Ь], и докажите, что она также задает однозначное отображение.
Итак, не ограничивая общности, будем рассматривать всегда стандартный отрезок [— 1, + Причина, по которой наш выбор пал именно на этот отрезок, станет ясна из дальнейшего.
Задача 2. В каждом классе школы выбрали самого высокого ученика (его рост служит аналогом «уклонения от нуля» учеников данного класса), а среди выбранных нашли самого маленького (класс, и котором он учится, «наименее уклоняется от нуля»). Затем в каждом классе той же школы выбрали самого маленького по росту ученика и среди выбранных нашли самого высокого. Кто выше: самый маленький среди самых высоких или самый высокий среди самых маленьких?
Задачи о минимаксах, в том числе и чебышевская задача о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля па заданном отрезке, укладываются в следующую общую схему.
59
Рассмотрим функцию F{xu xv; tji.....ym), зависящую от переменных двух «сортов». Переменные одного сорта Х\, ..., хп (любой набор их мы будем называть точкой) принимают значения из множества А, переменные другого сорта уи ..., ут (любой набор их мы также будем называть точкой) — из другого множества В. Сначала при постоянных («замороженных»)
значениях yi.....ут мы находим максимум функции
F(X\, ..., хп; уи ..., ут) по всем Х\, ..., хп из множества А. Предположим, что он достигается в некоторой точке х°, х°п (то что эта точка принадлежит множеству А, принято обозначать так: (х°, ..., х°п) е Л)), т. е.
F(a*, ..., х°п; yi.....ут) =
= max F(xi, ..., хп; уи...,ут). (5)
(Xj,...,*n)eA
Если теперь мы «разморозим» переменные yi, ..., Ут, разрешив им принимать любые значения из множества В, то максимум (5) «поплывет»: и его величина, и положение (точка, в которой он достигается), вообще говоря, будут различными в различных точках (уи ..., ут) множества В. Требуется найти
min max F{xu ..., хп; yi.....ут)-
<»i.....Ут)ев (ж1.....*п)еА
Задача 3. Проследите общую схему на примере из задачи 2, когда из каждого класса школы сначала выбирают самого высокого ученика, а затем из числа отобранных находят самого маленького. Укажите, что такое в этом примере переменные х и у, множества Л и В, функция F.
В задаче П. Л. Чебышева роль функции F играет абсолютная величина многочленов
|x»+-pi*"-i + ...+'ря|,
60
роль переменных Xi, ..., хп — обычная переменная х, переменных уи ..., ут — коэффициенты многочлена pi, ..., рп. Множество А — это стандартный отрезок 1—1, +П, множество В— совокупность всех возможных значений коэффициентов ри ..., рп, каждый из которых независимо пробегает вещественную ось (т. е. В — прямое произведение п экземпляров вещественной оси).
МНОГОЧЛЕНЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ
Настала пора удовлетворить любознательность тех, кто хотел бы познакомиться с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на отрезке [— 1, + 1]. Какие они, эти многочлены?
Следуя исторически сложившейся традиции, мы будем сравнивать многочлены с коэффициентом при старшем члене, равном 1. Это — лишь один из возможных способов стандартизации многочленов. Мы могли бы точно также сравнивать многочлены, принимающие в одной и той же точке х0 одно и то же отличное от нуля значение (как станет ясно из дальнейшего, интересующие нас многочлены заведомо отличны от нуля в любой точке х0, не принадлежащей отрезку {— 1, + 1]).
