Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ НА НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
К какой же математической задаче свел П. Л. Чебышев усовершенствование параллелограмма Уатта? Вспомним: головка поршневого штока должна двигаться как можно точнее по вертикали, а она из-за боковых усилий смещается в сторону. Если выбрать ось х по вертикали, ось у направить по горизонтали (на рис. 8 мы
45
повернули систему координат на 90° по часовой стрелке, и оси координат заняли более привычное положение: ось х стала горизонтальной, а ось у— вертикальной; можно считать, что оси по-прежнему «привязаны» к паровой машине Уатта с вертикальным цилиндром, а мы смотрим на них, склонив голову к плечу, сбоку) и обозначить через {(х) отклонение головки поршня от вертикали в точке х, то речь идет вот о чем. Назовем, следуя
Рис. 8. «Кандидаты» в уклонение от нуля: /(Г,), /(Г2), /(Г,).
П. Л. Чебышеву, уклонением функции от нуля на отрезке [а, Ь] (соответствовавшем в первоначальной постановке задачи ходу головки поршня) наибольшее значение, принимаемое на этом отрезке абсолютной величиной функции на этом отрезке. Иначе говоря, нас не интересует, в какую сторону — вправо или влево от вертикали (в нашей повернутой системе координат — вверх или вниз) —отклоняется головка поршневого штока, мы следим только за величиной отклонения. Например, для f (х), изображенной па рис. 8, «кандидатами» в уклонение от нуля могут быть точки Ti, Т% и Тз: в каждой из них
46
уклонение больше, чем в соседних точках (речь идет о достаточно близких «соседях»). Не трудно видеть, что 1(Тг) < /(Г3), так как f(T2) < 0, a f(T3) > 0, но если сравнивать не сами значения функции f(x), а их абсолютные величины, то \!{Тг) | > |/(Гз) |. Уклонение функции f(x), график которой вы видите на рис. 8, от пуля равно / (Г3) (так как /(Гз) > 0, то абсолютная величина этого значения совпадает с ним самим).
Во «Введении» мы уже говорили о теореме Вейер-штрасса, позволяющей любую функцию сколь угодно точно приближать многочленами. Не следует, однако, думать, что заданную функцию можно приблизить только одним многочленом. По традиции гладкую (не имеющую изломов и разрывов) функцию f(x) вблизи точки x = а (рис. 9) приближают отрезком ряда Тейлора. Так называют многочлен
/<«>+^<*-«>+-ф- (*—)•+...+
+ i!?L „_„,., (4,
коэффициенты которого однозначно определяются выбранной функцией /(*), а именно: выражаются через значения ее производных в точке а, т. е. зависят от скорости изменения функций f(x) в точке а (коэффициент
Рис. 9. Гладкая функция _ (без изломов). О
a-h
a+h
47
при (дс — а)), скорости изменеиия скорости (коэффициент при (х — а)2) и т. д.
Для теории параллелограммов, которую намеревался построить Чебышев, разложение Тейлора (4) было недостаточно. «Теория параллелограммов, которую мы собираемся дать,— писал Чебышев,— не может быть основана па приближенных формулах, определенных только тем условием, что они дают максимум точности вблизи некоторого одного значения переменной; та теория требует методов приближенного вычисления, которые могли бы доставить наибольшую точность для всех значений переменной между данными пределами. В этом-то и заключается трудность этой теории» [28, с. 25].
Иначе говоря, речь шла о построении приближающего многочлена, наиболее «близкого» к функции f(x) не в отдельной точке, а на всем отрезке, т. е. дающего наименьшее по сравнению с любым другим многочленом уклонение от f(x) (разность между f(x) и приближающим многочленом дает наименьшее уклонение от нуля на отрезке).
Что же было известно о приближающих многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции до Чебышева? Очень мало, чтобы не сказать почти ничего. В «Отчете» самого Чебышева об этом сказано так: «Я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало. Все, что сделано в этом отношении, принадлежит члену Парижской академии г. Понселе, известному ученому в практической механике; формулами, им найденными, пользуются очень много при вычислении вредных сопротивлений машин» [29, с. 249].
Формулы, о которых говорил Чебышев, были опубликованы Понселе в 1835 г. и представляли собой линейные приближения трех функций:
У*2+«/2, У *2 - у2, У х2 + ф + г\ найденные с таким расчетом, чтобы максимум относи-
48
тельной погрешности при х, превышающих некоторое критическое значение, был как можно меньше.
У Понселе приведено, правда, в довольно расплывчатой форме, и практическое правило нахождения приближающей функции, подчиненное принципу—максимум уклонения должен быть минимальным. По Понселе необходимо «в каждом данном случае найти аналитическое выражение для пределов возможной ошибки; приравнять их абсолютные значения, тогда становится возможным — если только число полученных таким образом уравнений окажется равным числу неопределенных величин (параметров) — подсчитать те значения неопределенных величии, которые удовлетворяют поставленным требованиям» [28, с. 479].
Если мы приближаем функцию многочленом степени п, то таких параметров будет или должно быть п + 1, это коэффициенты многочлена.
