Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Слово «сравнение» в названии чебышевской диссертации (как, впрочем, и во всей математической литературе) имеет несколько иной смысл, чем в обыденной речи. Числа а и Ъ математики называют
42
сравнимыми по модулю с, если разность а—Ь делится на с. Это принято записывать в виде сравнения
а е= 6(mod с).
Изучению таких соотношений (сравнений) и посвящена диссертация П. Л. Чебышева.
Итог своих наблюдений за работой параллелограммов Уатта П. Л. Чебышев подвел в самом начале своей знаменитой работы «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов»: «Когда нужно упрочить прямолинейное движение части механизма, подверженной действию наклонного к ней усилия, нельзя пренебрегать мало доступными измерению неправильностями направляющих; уклонения, не заметные простым взглядом, ясно обнаруживаются пассивными сопротивлениями, происходящими вследствие их существования. Направляя поршневой стержень паровой машины посредством кулисы или параллелей, особенное внимание обращают на то, чтобы они были выполнены с возможным совершенством. Если эти направляющие заменяются параллелограммом, то следует еще более стараться увеличить, насколько возможно, точность его хода, так как даже в самых благоприятных условиях он дает уклонения столь значительные, что их никогда не допустят в движении стержня, направляемого посредством кулисы или параллелей.
При настоящем состоянии практической механики не существует надежных правил для нахождения наиболее выгодных элементов параллелограмма. За отсутствием прямой методы его элементы определяют на основании условий, выполнение которых считают необходимым для точности хода этого механизма...
Если считать особенно выгодным, чтобы поршневой стержень имел вполне точное направление в начале, в середине и в конце его хода, то отводной радиус, находимый при помощи методы, о которой мы только что гово-
43
рили, очевидно, единственный, удовлетворяющий этому условию.
Но этот случай, как мы увидим, не самый благоприятный для точности хода параллелограмма в других точках пробега поршня. Что же касается наиболее выгодного положения поршневого стержня по отношению к коромыслу, предыдущий принцип его не указывает. Из теории, предлагаемой в этом мемуаре, видно, что поршневой стержень должен быть более или менее приближен к центру коромысла, смотря по размерам параллелограмма, и что в наиболее обыкновенных случаях его продолжение вовсе не проходит через середину стрелки дуги, описываемой концом коромысла. Так, в случае, когда параллелограмм Уатта построен на половине плеча коромысла (каким делал его сам Уатт и каким его следует делать, если имеется возможность располагать размерами параллелограмма), предел уклонений стержня от его нормального направления можно значительно уменьшить, приближая его к центру коромысла более, чем это следовало бы сделать, основываясь на принципе, о котором мы только что говорили. А именно: 1) в случае, когда желательно сделать вполне вертикальным положение стержня в начале, в середине и в конце его хода, за его направление следует брать направление прямой, делящей стрелку дуги, описываемой концом коромысла, в отношении 2 к 1; 2) в случае, когда не требуется абсолютная точность в двух крайних положениях стержня, за его направление следует брать прямую, делящую эту стрелку в отношении 5 к 3.
В последнем случае отводной радиус уже не будет более определяться предельными положениями коромысла; для определения его придется брать положения, которые им предшествуют приблизительно на одну сороковую амплитуды качаний. Хотя изменения в устройстве параллелограмма Уатта, о котором мы только что говорили, не велики и хотя они только приближенные след-
44
ствия наших формул, тем не менее они значительно увеличивают точность его хода.
При помощи анализа легко убедиться, что в силу этих изменений предел уклонений стержня от вертикальной линии уменьшается более чем на половину.
Это нам ясно показывает, что принцип, лежащий в основе современной теории параллелограмма, далеко не сводит к минимуму предел его уклонений, столь вред-пых благодаря происходящим от них боковым давлениям па поршневой стержень. Поэтому не только для теории, по и для практики очень важно заменить в исследованиях о параллелограмме этот принцип, который стараются оправдать при помощи неточных рассуждений, прямой методой. Достигнув этой цели, можно из природы самого механизма и представляемых практикой условий вывести наиболее подходящие элементы для точности его хода. В этом мемуаре мы предлагаем дать такую методу, которая обнимает параллелограмм Уатта и все его разновидности, находящие применение на практике» [28, с. 24—25].
Встретив при осуществлении намеченной им программы «вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало», П. Л. Чебышев разработал для их решения метод, который известный французский математик Жозеф Бертран (1822—1900) назвал чудом анализа, чудом, сохранившим и продолжающим сохранять свое значение н после того, как паровые машины, а вместе с ними и параллелограмм Уатта отошли на задний план.
