Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Данилов Ю.А. -> "Многочлены Чебышева" -> 1

Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.

Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.

Многочлены Чебышева

Автор: Данилов Ю.А.
Издательство: Мн.: Выш. шк.
Год издания: 1984
Страницы: 157
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
Скачать: mnogochleni_chebisheva.djvu

Ю. А. ДАНИЛОВ

МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА

МИНСК ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА: 1984

AIl-удк 517.518.82С

Рецензент: А. Ф. Никифоров, доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета

1702030000—063 84 М 304(05)—84

© Издательство «Вышэйшая школа», 1984.

Мишка такой человек, ему обязательно надо, чтоб от всего была польза. Когда у него бывают лишние деньги, он идет в магазин и покупает какую-нибудь полезную книжку. Одни раз ои купил книгу, которая называется «Обратные тригонометрические функции и полиномы Чебышева». Конечно, он ни слова в этой книжке не понял и решил прочитать ее потом, когда немножко поумнеет. С тех пор эта книга лежит у него на полке — ждет, когда ои поумнеет.

Н. Носов. Веселая семейка

ВВЕДЕНИЕ

ЧТО ТАКОЕ МНОГОЧЛЕН?

Знаете ли вы, что такое многочлен? Нет, вы не знаете, что такое многочлен. Простота знакомого всем определения многочлена обманчива.

Иногда, как это сделал, например, автор купленной Мишкой «иа вырост» книги, многочлены называют по-гречески «полиномами». Для тех, кому это название нравится больше, наш вопрос звучит так: что такое полином?

Тем, кому определение многочлена не очень хорошо знакомо или кто успел основательно забыть его, напомним, что многочленом (л-й степени от одного переменного х) называется выражение

Рп (х) г= а0хп + сцхп-1 + ... + an~iX + ап,

где п — целое положительное число, т. е. сумма целых неотрицательных степеней переменного х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами.

Занимаясь изучением многочленов, математики открыли немало нового и удивительного, ставшего впоследствии привычным и обыкновенным. Многое из того, что в наши дни навевает скуку на школьника старших клас-

3

сов и тем более на студента, превзошедшего всю школьную премудрость, несколько веков назад было предметом тайных вожделений не одного математика.

Долгое время излюбленным занятием математиков было нахождение нулей, или корней, многочленов. Устраивались даже турниры но решению алгебраических уравнений. Было замечено, что одни уравнения, например

х2 - 1 = 0, (1)

имеют вещественные корни, а другие, казалось бы, внешне похожие, например

х2 + 1 = 0, (2)

вещественных корней не имеют (если х — вещественное число, то х2 ^ 0, и левая часть заведомо не меньше единицы, что не позволяет ей обратиться в нуль ни при каком значении х).

«А что если пополнить запас вещественных чисел неким воображаемым «числом», которое бы удовлетворяло уравнению (2),— стали размышлять математики.— Уравнение (2) стало бы разрешимым, как и уравнение (1), и у нас одной заботой стало бы меньше». И они так и сделали: обозначили воображаемое число буквой i, с которой начинается французское слово imaginaire (воображаемый, или мнимый), и назвали его мнимой единицей. Может быть, вы думаете, что математикам пришлось пополнять запас чисел, могущих быть корнями алгебраических уравнений

хп + 1 = О

при каждом п в отдельности? Ничуть не бывало! Оказалось, что, пополнив запас вещественных чисел одним-единственным «воображаемым числом» — мнимой единицей i— и научившись производить над ней алгебраические операции, математики обрели возможность находить нули многочленов любых степеней. Более того,

4

значение Открытия вышло далеко за рамкн узкой (хотя и очень нужной) задачи решения алгебраических уравнений. Математика обрела целый мир — комплексную плоскость — вместо прежней вещественной прямой, на которой и повернуться-то было невозможно и не оставалось ничего другого, как двигаться вперед и назад.

Подобно другим наукам математика черпает слова для пополнения своей терминологии из повседневного языка, лишая их привычного смысла. Новый смысл термина задается его определением и только определением. В математике встречаются поля, которые никто не пашет, корни, которые не питают растение соками, ветви, которые никогда не были зелеными. Вели нематематнк приносит вам в подарок множество конфет и вы любите сладкое, можете заранее занимать очередь к зубному врачу. Но если множество конфет, пусть даже самых лучших, вам дарит математик, то необходима осторожность: множество, о котором говорит математик, может вполне оказаться пустым.

Позднее математики научились обращаться не только с комплексными числами, но и с более сложными объектами, производить над ними различные действия и за второстепенными внешними различиями замечать гораздо более существенное внутреннее сходство, тождественность в главном, или изоморфизм. Выяснилось, что комплексные числа, какие бы операции — сложение, вычитание, умножение, возведение в степень или извлечение корня — над ними ни производили, всегда ведут себя так же, как упорядоченные пары вещественных чисел, т. е. такие пары чисел, в которых установлен порядок — указано, какое из входящих в них чисел считать первым и какое — вторым. Переход от одного вещественного числа к упорядоченной паре вещественных чисел значительно расширил и обогатил само понятие числа.

А что если рассматривать многочлены не только от вещественного переменного с вещественными коэффициентами, но и от комплексного переменного с комплексными коэффициентами? Может быть, история повторится,
< 1 > 2 3 4 5 6 7 .. 41 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed