Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Тп(х) = хп — C2n*"-2(1 - х2) + C4*"-4(l - л:2)2 - ... Приведем несколько первых многочленов Чебышева:
То(х) = 1; Tt(x) = *; Ts(x) = 2*» - 1; Тя(х) = 4*3 - За:; П(х) = 8*4-8*2+ 1; ТЛ(х) = 16д:5 - 20л:3 + 5л:; Т,(х) = 2>2хв — 48л:4 + 18л:2 - 1.
Графики многочленов Тп(х) приведены на рис. 25.
Представим себе прозрачный прямоугольник высотой 21 (— / ^ у ^ /) и шириной 2л1 (0 ^ х ^ 2л1), на котором начерчен график функции y = rcosnx. Согнув его в цилиндр (прозрачный абажур), мы увидим график многочлена Тп(х), если будем смотреть сбоку с такой
90
Рис. 26. Взгляд на многочлены Чебышева «со стороны»: графики многочленов Тп(х) как проекции косинусоиды.
точки, в которой косинусоида на передней половине боковой поверхности цилиндра, обращенной к нам, совместится с косинусоидой на задней половине боковой поверхности цилиндра, скрытой от нас (рис. 26).
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА И ФИГУРЫ ЛИССАЖУ
Возьмем карандаш и бумагу, которые до сих пор были нашими верными помощниками, и отправимся в физиче-; скую лабораторию. Нас будет интересовать вопрос, как выглядит траектория точки, совершающей на плоскости колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Осуществить такие колебания можно либо с помощью двойного маятника, к которому подвешена воронка с песком ( песок, высыпаясь из воронки, вычертит ее траекторию), либо с помощью осциллографа, подводя к пластинам отклоняющих конденсаторов гармонически изменяющиеся со временем напряжения от двух звуковых генераторов. Пусть вдоль оси х точка движется по закону
х = A sin (mt + <pi) (19)
и вдоль оси у — по закону
у = fisin(G)2* + <P2). (20)
Величины А и В называются амплитудами, ф1 и фг — фазами, wi и о)г — циклическими частотами колебаний (если
92
Т — период колебания, то циклическая частота равна 01 = 211/7").
Нетрудно видеть, что движение вдоль оси х происходит в пределах полосы | лг | ^ А, а движение вдоль оси у— в пределах полосы \у\ ^ В. Следовательно, точка на экране осциллографа никогда не покидает пересечение этих полос — прямоугольник шириной 2 Л и высотой 2 5с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям.
Вид траектории, описываемой уравнениями (19) и (20), зависит от отношения циклических частот, или периодов и разности фаз <pi — фг. Оказывается, среди кривых, мелькающих на экране осциллографа и известных под названием фигур Лиссажу, мы видим и графики многочленов Тп (х) (см. задачу 26).
Задача 23. Пусть cpi = фг. Докажите, что если в этом случае ни = иг, то точка движется по отрезку диагонали прямоугольника, образованного пересечением полос |л'| ^ А; \у\ ^ В.
Задача 24. Пусть ф1 — фг = я/2. Докажите, что при wi = ы2 точка движется по эллипсу с полуосями А и В, вписанному в прямоугольник |лг| ^ А; \у\ ^ В.
Задача 25. Пусть ф1 — фг = я. Докажите, что точка движется по отрезку другой диагонали прямоугольника |д:|^Л; \у\ ^ В.
Задача 26. Докажите, что при А = В = 1 и соответствующей разности фаз точка, колеблющаяся с ои/юг = я, где и — целое число, описывает кривую, представляющую собой (с точностью до поворота на 90°) график многочлена Чебышева первого рода степени Тп(х).
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА
Мы убедились в том, что cos (я arccos х) представляет собой многочлен Тп(х). Прямое вычисление косинусов кратных углов с помощью одних лишь тригонометрических преобразований слишком громоздко для того, чтобы приводить его здесь (и даже пользоваться им).
Обращение к комплексным числам позволяет упростить доказательство применением еще одной важной формулы для многочлена Тп(х) при произвольном це-
93
лом п и попутно установить связь между тригонометрическими и показательной функциями. Формула, о которой идет речь, имеет вид
(х + У^^Т)" + (х - У*Г=7)п
Докажем, что она верна.
Всем нам хорошо знакомо число я — отношение длины окружности к диаметру. Оно вездесуще и появляется при рассмотрении вопросов, казалось бы, никак не связанных с длиной или площадью окружности, например в теории вероятностей.
Менее известно другое вездесущее число, обозначаемое буквой е. По определению
е = lim (l +— Y (21)
(приближенное значение е вычислено со многими знаками, например е « 2,718282). В математике широкое применение находит функция у = ех (график ее вы видите на рис. 27). Из определения (21) следует, что
е* = lim (l +—)". (22)
Эта функция определяет форму многих природных объектов, в частности ценной линии (рис. 28), форму которой приобретает подвешенная за два конца тяжелая нить, например, паутина. Знаменитый французский энтомолог Жан Фабр посвятил цепной линии следующие строки: «Бессмысленное (нелестный эпитет вызван в конечном счете незнанием формулы Эйлера, с которой мы познакомимся чуть позже.— Ю. Д.) число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дома в туманное утро, рассмотрим внимательно спле-
94
тенную за ночь паутину. Усеянные крохотными капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться
