Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Данилов Ю.А. -> "Многочлены Чебышева" -> 29

Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.

Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева — Мн.: Выш. шк., 1984. — 157 c.
Скачать (прямая ссылка): mnogochleni_chebisheva.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 41 >> Следующая


Нам понадобится следствие из теоремы Безу: если а — нуль (корень) многочлена Р(х), то R ~ Р(а) = 0, и Р(х) делится иа (х — а).

Итак, многочлен Р(х) делится на (х — а) тогда и только тогда, когда а — нуль многочлена Р(х).

Мы доказали, что многочлен Тп(х) имеет п различных вещественных корней

104

(2ft- 1)

Xh = cos---— 71,

2n

где. k — 1, 2, ,..,я. По следствию из теоремы Безу следует, что Тп (х) делится на (х — xh) при k = 1, 2, ..., п. Так как произведение

П = (х — Xi) (х — хг) ¦ ¦ ¦ (х — х„)

есть многочлен степени п относительно х, имеющий те же корни, что и Т„(х), то оба многочлена могут отличаться самое большее постоянным множителем, т. е.

Тп(х) = А(х~ Xi)(x-х2)---(х-хп), (32) где А — постоянная.

Задача 35. Докажите, что сумма всех возможных произведений любого нечетного числа различных корней многочлена Чебышева первого рода четной степени равна нулю.

Задача 36. Докажите, что сумма всех возможных произведений любого четного числа различных корней многочлена Чебышева первого рода иечетиой степени равна нулю.

Задача 37. Выясните, при каких man многочлен Тт(х) делится на Т„{х).

КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ СТАРШЕМ ЧЛЕНЕ

До сих пор мы говорили о том, что Т„(х) —многочлен степени п, и даже приводили его разложение на п линейных множителей (32), но оставались в неведении относительно того, чему равен коэффициент при его старшем члене.

Вычислим теперь этот коэффициент. Из разложения Т„(х) = jc" - С? *в-*(1 - х2) ¦+ С* *»-*(1 - х2)2 — ...

нетрудно видеть, что коэффициент при хп в Тп(х) равен 1 + С2 + О + ...,

1 п ' п

105

т. е. сумме биномиальных коэффициентов С* при все?

четных k = 0, 2, 4, ..., не превосходящих п. Эта сумма-равна 2n_1.

Итак, коэффициент при старшем члене многочлена Чебышева первого рода равен 2n_1.

Действительно, биномом Ньютона мы называем величину (1+х)п. При целом п бииом Ньютона представляет собой многочлен

(1 + х)п = С° х" + С1 х"-> + С2 х"-2 + ... +

п п п

+ С* х"-* + ... + Сп-»дс + С" ,

где С*п(й = 0, 1, 2.....«) —й-й биномиальный коэффициент (число

сочетаний из п по к, т. е, выборок из п различных предметов по к, отличающихся по крайней мере одним предметом). Из определения-числа сочетаний следует (почему?), что

С* - С»-*,

т. е. что биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны.

Полагая х= 1, находим, что сумма всех биномиальных коэффициентов бинома Ньютона степени п равна 2", а полагая х = — 1, считаем, что сумма биномиальных коэффициентов с к = 0, 2, 4, ,.. равна сумме биномиальных коэффициентов с к = 1, 3, 5, ,,. Следовательно, сумма биномиальных коэффициентов с к = 0, 2, 4, ... (так же, как и сумма биномиальных коэффициентов с к = 1, 3, 5, ...) равна половине суммы всех коэффициентов бинома Ньютона степени л, т. е. 2я-1.

Задача 38. Коэффициент при старшем члене многочлена Рп(х), заданного иа отрезке [а, Ь], равен ао. Чему равен коэффициент при старшем члене многочлена Рп(х), который получится из х, если х подвергнуть преобразованию, переводящему отрезок [а, Ь] в отрезок [С d]7

Задача 39. Пусть б —- уклонение от нуля многочлена Рп(х) иа отрезке [а, Ь]. Чему равно уклонение от нуля многочлена Qn(x) из задачи 38 на отрезке [с, d]7

106

ЧЕТНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ ЧЕБЫШЕВА ПЕРВОГО РОДА

Приводимые ниже свойства многочленов Чебышева первого рода заслуживают быть особо отмеченными не только потому, что они общие для многочленов Тп(х)

и многочленов Рп(х) наименьшего уклонения от нуля на отрезке [—1, + 1]. Доказательство всех этих свойств следует из того, что Тп(х) — косинус некоторой величины. Продумывание деталей доказательства мы предоставляем читателю.

Задача 40. Докажите, что при четном « многочлены Чебышева первого рода — четные функции, а при нечетном «— нечетные функции.

Задача 41. Докажите, что любой четный многочлен Рп(х) степени « можно представить в виде

Рп(х) =а0Тп(х) +агТп-г(х) + а47,п_4(х) + ..., где Тп(х), Тп-г(х), Tn-i(x), ... — многочлены Чебышева первого рода четных степеней.

Задача 42. Докажите, что любой нечетный многочлен Рп(х) степени « можно представить в виде

Рп(х) =а0Тп(х) +а2Тп-2(х) +ajn-i(x) + ..., где Тп(х), Тп-г(х), Г„_4(х), ... — многочлены Чебышева первого рода нечетных степеней.

УКЛОНЕНИЕ ОТ НУЛЯ

Многочлены Чебышева первого рода «наследуют» от косинуса и такое важное свойство, как равноколебле-мость: как известно, наибольшее и наименьшее значения косинуса равны по абсолютной величине, т. е. косинус отклоняется от нуля одинаково как в положительную, так и в отрицательную сторону (рис 30).

Задача 43. Докажите, что уклонение многочлена Чебышева первого рода Тп(х) степени « на отрезке [— 1, + 1] при любом « равно 1.

Задача 44. Докажите, что многочлен {\12п~1)Та(х) при любом « > 1 наименее уклоняется от нуля на отрезке [— 1, + !]•

107

В конце первой главы мы говорили о том, что при

любом п ^ 1 существует единственный многочлен Рп(х) степени п, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [— 1, -f- 1]. Следовательно,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 41 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed