Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 27. График экспоненты —
функции у = ех. Рис. 28. Цепная линия.
всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гроздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем великолепии» [9, с. 124].
Разумеется, математиков и физиков число е и связанная с ним функция у = ех прельщают не внешним блеском. Число е служит основанием так называемых натуральных логарифмов х = In у (функции, обратной функции у = ех). Функция у = ех описывает процессы, в которых скорость изменения равна самой изменяющейся величине (производная совпадает с исходной функцией).
Заметим, что при умножении двух величин сх> и е*' их показатели складываются:
т. е. ведут себя так же, как аргументы двух комплексных чисел при умножении. Как показал Эйлер, сходство
95
между тригонометрическими функциями и экспонентой (так математики назвали функцию у — ех) не случайно и основано на существующей между ними глубокой внутренней связи.
Подставим в определение (22) экспоненты ех вместо вещественного переменного д: комплексное число г — = х + iy:
Ничего «незаконного» в такой подстановке нет, так как все операции, производимые в правой части формулы (23), одинаковы для вещественных и комплексных чисел. Вычислим предел (23), пользуясь тем, что для Z — = X+iY - R (cos Ф + i sin Ф)
ez = lim
(23)
lim Z = lim X -f- i lim Y; lim Z = lim R (cos (lim Ф) -f i sin (lim Ф)).
Запишем число
в тригонометрической форме
г (cos ф -f- i sin<$),
где
1 + xjn
У
(24)
cos ф
г
; sin ф =
пг
Нетрудно видеть, что ф-> 0 при п-у со,
96
По формуле Муавра имеем
(1 +2//1)" = (>(cos(p + /sin(p)]n = = rn (cos wp + i sin mp).
Предел (22) мы найдем, вычислив lim гп и lim mp. Начнем с lim гп. Запишем гп в виде
и для удобства сравнения с (21) обозначим 2х Хг + у* _ 1 п /г2 т'
Тогда
п _ . *2 + У2
(25)
2т 2п
и при и-*-оо новая величина т также неограниченно возрастает (m-voo). Выражение (25) теперь можно представить в виде
Г —
1 \"»7"1-- 2л
При n-vcx величина, стоящая в квадратных скобках, стремится к е (см. формулу (21)), а показатель — к х. Отсюда получаем
lim гп =-- <?Л.
lv ы вычислить второй предел, запишем щ в виде tg ф Ф
щ = Пф = Я tg ф —--.
т tgq> SY tg<p
4 -d •¦. 668 97
Из (24) следует, что tg ф => у In -f- х, поэтому
а при ф-»-0 (напомним, что Ф-»-0 при и-»-оо)
Ф
tg«P
lim -#-=1.
п->00
Следовательно,
lim иф = lim —^— = lim---= у.
/1-х» Я-+00 1 ""Г X /1-х» I i
Итак, окончательно получаем
ег = lim (l+ —) = e*(cosy+ tsin«/)
n->-oo ' fl '
или
ex+iy = e* (cos y + isiny). (26)
При д; = 0 формула (26) была открыта Л. Эйлером в 1740 г. и известна под назьанием формулы Эйлера для мнимых показателей:
eiy = cos у -f- i sin у. (27)
Леонард Эйлер (1707—1783) много и необычайно плодотворно работал почти во всех разделах современной ему математики. Теоремы Эйлера, углы Эйлера, постоянные Эйлера, уравнения Эйлера, подстановки Эйлера составляют лишь небольшую часть его научного наследия. Формул Эйлера существует великое множество, и мы приводим полное название формулы (27), чтобы было ясно, о какой именно формуле Эйлера идет речь.
98
Задача 27. Экспонента е* с вещественным показателем обладает важным свойством: прн умножении показатели складываются. Докажите, что экспонента с комплексным показателем обладает тем же свойством: при умножении показатели складываются.
Задача 28. Докажите, что
eni = — 1.
Формула Эйлера позволяет заменить тригонометрическую форму комплексных чисел показательной: для г = г (cos ф + i sin ф) из (26) получаем
z = re'f.
Задача 29. Докажите, что формула Муавра для показательной формы комплексных чисел имеет вид
{ещ) п = ег'пф.
Формула Эйлера (27) позволяет установить связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией: подставляя в (27) у у ц у = — ф, получаем
eiv = cos ф + (sin ф; е-!ф = cos ф — i sin ф,
откуда
ег'ф е-гф = 2 cos ф; е»ф — е-г'ф — 2i sin ф, и мы приходим к формулам Эйлера для тригонометрисч;СКИХ функций:
ещ -J- е—if
cos ф = ¦
(28)
2
й1Ф — е~ *ч>
sin ф =-—-• (29)
Задача 30. Докажите с помощью формул Эйлера (28) и (29), что cos2 ф + sin2 ф «= 1.
Задача 31. Выразите с помощью формул Эйлера (28) и (29) sln»* через синусы кратных углов.
Задача 32. Выразите с помощью формул Эйлера (28) и (29) cos7 х через косинусы кратных углов.
Задача 33. Докажите с помощью формул Эйлера для тригонометрических функций, что
4. 99
1
Задача 34. Докажите с помощью формул Эйлера для тригонометрических функций, что
1
sin" х = —-[sin nx — С1 sin (n — 2)x +
2,i-i n
+ C2 sin (n-4)x -...].
Докажем теперь соотношение
. , v _ (x + У *2 - 1 )" + (х-У*2- 1 )
n(X) — ¦ 0
Пусть ф = arccos x. Тогда x = cos Ф; У x2 — 1 = t sin Ф.
'вставляя выражения для л: и Ух2 — 1 в правую часть, нреоОр-,3уем ее с помощью формул Эйлера для тригонометрические функций и формулы Муавра для комплексных чисел в П1л-азате1ль110н форме:
