Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
г, = хх, .... 2?л = хк.
Обращаясь к последнему уравнению (15), мы видим, что оно удовлетворяется числами (*,, х„ 1), т. е. числа (*,, хк) удовлетворяют {к + 1)-му уравнению системы (13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор х = (яг,, .... хк, ж .... х ) удовлетворяет (А + 1)-му уравнению системы (1). Этим утверждение 2) доказано.
4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных. Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса1). Пусть дана система
011Х1 + .. + а1пхп =&1>
<*п1х1 + •• + <*ппХп =Ьп.
Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу В", соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы В видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.
1 К. Ф. Гаусс (1777-1855) - немецкий математик.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
41
Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число к * 0, оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу В', соответствующим образом преобразованную из матрицы В (В => В'). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на к.
Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"). получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование В => В' сводится к перестановке местами двух строк матрицы В.
Указанные три преобразования В => В' называют элементарными преобразованиями матрицы.
Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу В'. Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операции над системой уравнений или, что все равно, над матрицей В, добиться либо решения заданной системы (1")» либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1")> то это докажет противоречивость системы (1").
Ниже приводятся примеры применения этого метода.
Операция В В' обозначает, что В' получается из В посредством одной или нескольких элементарных преобразований.
Пример 7. Решить систему
хг + 2х2 + Заг3 + 4*4 = 5, х2 + 2*з + Злг4 = 1, хг + 3*з + 4х4 = 2, Х1+ х2+ &хз + = 1\
Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти хх, х2, х3, х4. Здесь было бы много повторяющихся вычислений.
42
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Составим матрицу В:
В =
(1 2 3 4 5Ї
0 12 3 1
1 0 3 4 2 115 6 1
где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (—1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу
В{ =
о о
1о
2 3 4 5Ї 12 3 1 -2 0 0 -3 -12 2-4;
В матрице В[ элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали:
(I 2 3 4 б4» 0-200-3 0 12 3 1
^0-12 2 -4
Вторую строку можно еще умножить на (—1), чтобы запись была проще:
В, =
'1 0
о
2 3 4 5"\ 2 0 0 3 12 3 1
1.0 -12 2-4;
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
Дальнейшие преобразования матриц очевидны:
В, => В2 =
'1 0 3 4 2 " 0 2 0 0 3 0 0 2 3 -1/2
,0 0 2 2 -5/2,
^?3 =
'1 0 3 4 2 '
0 2 0 0 3
0 0 2 3 -1/2
,0 0 0 -1 -2 ,
'1 0 3 4 2 ' 0 2 0 0 3 0 0 2 3 -1/2
,0 0 0 1 2 ,
'1 0 3 0 -6 >
0 2 0 0 3
0 0 2 0 -13/2
,0 0 0 1 2 ;
В6 =
'1 0 0 0 15/4"
0 2 0 0 3
0 0 2 0 -13/2
,0 0 0 1 2 ,
Отсюда х4 = 2, х3 = -13/4, х2 = 3/2, хх = 15/4. Чтобы не допустить ошибки, рекомендуется осуществить проверку, подставив полученные значения в исходные уравнения системы.
Рассмотрим с этой точки зрения пример 5:
х1+х2 + 2х3 = 1, • х1 + х2 + 3*з = 2,
В =
1 1 1 г (\ 1 1 1' 'і 1 1 г
1 1 о 1 => В. = 0 0 1 0 =>в2 = 0 0 1 0
,11 3 2> 1 ^0 0 2 Ь [о 0
44
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:
Х-^ "4" Х^ 4" Х^ — 1у
О • хг + 0 ¦ хг + хг = О, О • хг + О ¦ Х2 + О - х3 = \,\
В последней строке свободный член равен единице, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, поэтому система несовместна. Наконец, в примере 6
\ 1 1 1> г1 1 1 1ч
В = 1 1 2 1 => Бх = 0 0 1 0
.2 2 4 2, <о 0 2 °>
Ґ1 1 1 1
0 0 10 0 0 0 0
Отсюда
=>В. =
хя = 0,
(1 1 1 0 (і і 0 1^1
и 0 і о) ^в< = [о 0 1 о]
х, + х„
1,
т. е. система имеет бесконечное множество решений:
х2= 1
х3 = 0,
где х1
л1 ~2 *¦ л1»
любое ЧИСЛО (—со < х1 < <=°).
4.8. Нахождение ранга матрицы. Если нас интересует только вопрос о ранге матрицы В, то указанные выше элементарные операции В => В' распространим не только на строки, но и на столбцы матрицы. При этом, если в процессе этих преобразований в матрице появляются строка или столбец, целиком состоящие из нулей, то их надо удалить из матрицы, т. е. рассматривать далее матрицу меньшего размера.
