Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
аЪ = (а, Ь) = |а|проЬ = ^пр^а.
Скалярное произведение обладает свойствами:
(а, Ь) = (Ь, а), (5)
(о, 6 + с) = (а, 6) + (о, с), (6)
(о, аЬ) = а(а, 6). (7)
Равенство (5) непосредственно вытекает из определения скалярного произведения. Равенство (6) доказывается так:
(а, Ъ + с) = |с|пра(Ь + с) = \a\upjb + |а|пр0с =
= (о, Ь) + (о, с). Равенство (7) доказывается следующим образом:
(а, аЬ) — |а|про(аЬ) = |а|оспраЬ = а(а, Ь). Из (6) и (7), учитывая, (5), следует
(а + Ь, с) = (а, с) + (Ъ, с), (60
(аа, 6) = а(а, 6). (7')
Пример (из физики). Если тело под действием силы а передвинулось прямолинейно вдоль вектора Ъ, то работа V/, выполненная силой а, как известно из физики, равна
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
55
произведению величины силы \а\ на путь |б| и еще на косинус угла между векторами а и 6:
V/ = |а| |&|соБ(а, 6).
Но тогда
V/ = (а, Ъ),
т. е. указанная работа равна скалярному произведению векторов а и Ь.
5.5. Прямоугольная система координат. Теперь мы переходим к аналитическому описанию векторов и точек пространства — при помощи чисел. Введем в пространстве прямоугольную систему координат х, у, г, т. е. три взаимно перпендикулярные направленные прямые, проходящие через некоторую точку О, называемые осями координат х, у, г (рис. 9). Предполагается, что для данной системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются все прочие отрезки. Точка О называется началом координат.
Зададим произвольную точку А трехмерного
пространства. Направлен-—»
ный отрезок ОА называ- Рис. 9
ется радиус-вектором точки А. Радиус-вектор в свою оче-
->
редь определяет вектор а (а = ОА), который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Числовые проекции радиус-вектора а на оси х, у, г обозначим соответственно х, у, г. Это координаты точки А; при этом координата х называется абсциссой, координата у — ординатой и координата г — аппликатой точки А.
56
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Между точками А пространства и их радиус-векторами
—>
ОА или, что все равно, тройками чисел (х, у, г), являю-щимися координатами точки А или проекциями ОА на оси, имеется взаимно однозначное соответствие. В силу сказанного не будет путаницы, если мы будем называть тройку чисел (х, у, г) точкой А, имеющей эти числа своими координатами или радиус-вектором а, имеющим эти числа своими проекциями.
Мы будем писать а — (х, у, г) и говорить, что а или (х, у, г) есть вектор, равный радиус-вектору точки А, имеющему координаты х, у, г. Но, конечно, можно считать, что вектор о равен какому-либо другому направ-
ленному отрезку СО» равному ОА (СО = ОА)> т-е-
—>
имеющему то же направление и ту же длину, что и ОА. В этом случае проекции а на оси координат часто обозначают символами ах, а , аг и пишут а = (ах, ау, аг).
Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора о = (х , ух, г() и Ь = = (х2, у2, г2) равны тогда и только тогда, если выполняются одновременно равенства: хх = х2, ух = у2, гх = г2. Справедливы равенства
(х, у, г) ± (х', у1, г') = (х±х',у± у', г ± г'), (8) а(х, у, г) = (ах, ау, аг). (9)
Равенство (8) следует из того, что проекция суммы или разности векторов (на ось х или у или г) равна сумме или разности проекций слагаемых.
Равенство же (9) следует из того, что проекция вектора оса (на ось х или у или г) равна произведению а на проекцию а.
Обозначим через і, /, к единичные (имеющие длину, равную 1) векторы, имеющие соответственно то же на-
_§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ_57
|а|2 = аа = х2 + у2 + г2, В
откуда длина вектора а равна ^Ъ^/^^\Ь-а
\а\ = + ^х2 + у2 + г2 . О а А
Отсюда расстояние между точками а —
= (х, у, 2) и Ь = (Xі, у", г-) равно (рис. 10) Рис. 10
\АВ\ = |Ь - а\ = + т1(х' - х)2 +(у'- у)2 + (2' - 2)2 .
правление, что и оси х, у, г. Векторы ?, к называют ортами осей х, у, г. Произвольный вектор (х, у, г) может быть записан в виде
(х, у, г) = хг + у] + гк. (10)
В самом деле,
I = (1, 0, 0), / = (0, 1, 0), к = (0, 0, 1). Поэтому в силу (8) и (9)
xi + у] + гк = х(1, 0, 0) + у(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) =
= (х, 0, 0) + (0, у, 0) + (0, 0, 2) = (х; у, г).
Отметим равенства, имеющие место для скалярных произведений ортов осей
и — а — кк = 1, i/ = = \к = 0. Пусть теперь а = (х, у, г) и Ь = (х\ у', г'). Тогда
аЪ = (а, Ъ) = хх' + уг/ + гг'. (11)
В самом деле, на основании (6), (7), (6'), (70 аЬ = № + у] + гк)(х,1 + у'} + г'к) =
= хх'И + ху'Ц + хг'гк + ух'р + уу'Ц + уг'^к +
+ гх'Ы + гу'Щ + гг'кк = хх' + уу" + гг". В частности, положив в этой формуле Ь = а, получим, что
58
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Для дальнейшего будет важно подвести итог сказанному. Для этого введем несколько иное наименование координат. Именно, введем в пространстве прямоугольную систему координат хх, х2, х3. В силу этого каждая точка пространства представлена тройкой чисел
х = (хх, х2, х3).
Эту точку мы обозначили жирной буквой х и назвали также вектором х с компонентами хх, х2, х3.
