Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
—»
го точки А к В. Будем также писать | АВ \ — \АВ\.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если точки А и В совпадают, то
-> ->
АВ = АА = О считают тоже векто- >^
ром - нулевым вектором. Его длина д<- В,
равна нулю (|0| = 0), а направление
для него не имеет смысла. —
В геометрии рассматривают сложе- ^ ние и вычитание векторов и умноже- рис 2
ние их на действительные числа. По
определению произведение аа = ал вектора а на число а или числа а на вектор а есть вектор, длина которого равна |сса| = |а| • \а\, а направление совпадает с а, если а > 0, или противоположно а, если а < 0. При а = 0 длина |оса| равна нулю и вектор аа превращается в нулевой вектор (точку), не имеющий направления.
Вектор е называется единичным, если его длина равна 1, т. е. |е| = 1. Если Ь = ае и е — единичный вектор, то |Ь) = = |сс|, потому что
1Ы = |о|-Н = Ы-1 =|о|.
50
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
По определению векторы а, Ь, с, взятые в конечном числе, складываются по правилу замыкания цепочки этих
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.
5.2. Проекция вектора. Проекцией точки А на прямую Ь (рис. 6) называется точка А', в которой пересекают-
Рис- 6 Рис. 7
ся прямая Ь с плоскостью, перпендикулярной к Ь, проходящей через точку А.
Зададим направленную прямую Ь (рис. 7) и вектор а = = АВ. Проекцией вектора а = АВ на направленную пря-мую Ь называется вектор А'В', где А', В" - соответственно проекции точек А, В на Ь (см. рис. 7).
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
51
Проекцию вектора а на направленную прямую Ь будем —>
обозначать символом пр^а .
—>
При данной направленной прямой Ь проекции А'В'
—>
любых векторов АВ на Ь лежат в Ь и направлены, как
Ь, либо - в противоположную сторону.
—>
Впрочем, если вектор АВ нулевой или перпендикулярен к Ь, то его проекция на Ь есть, очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.
Наряду с проекцией вектора а на направленную прямую Ь, которая представляет собой вектор, введем еще новое понятие — числовую проекцию вектора а на направленную прямую Ь. Это есть число, обозначаемое нами символом пр^а (без стрелки) и определяемое следующим
образом.
—»
Числовой проекцией вектора а = АВ на направленную
прямую Ь называется произведение длины вектора а — >
= АВ на косинус угла со между вектором а и направлением Ь:
прьа = |а|соБ(а, Ь) = |а|соз со (0 < со < п).
Отметим следующие случаи: если а = 0 или если со =
к к
= —, то прьа = 0; если а*ОиО<со< —, то числовая
проекция положительна (прьа > 0) и равна, очевидно,
-»-»-* длине вектора А'В': прьа — \AB\cos со = | А'В' |; при этом
—>
сам вектор А'В' направлен так же, как Ь; если же а Ф 0 л
и — < со < л, то числовая проекция отрицательна (пр^ <
2 ->
< 0) и равна, очевидно, длине вектора А'В', взятой со
знаком минус:
52
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
пр^а = 1ав|со8№ = -\а'В'\ =
при этом сам вектор А'В' направлен в сторону, противоположную Ь.
Справедливо очевидное равенство, выражающее связь между проекцией вектора а на направление Ь и его числовой проекцией на Ь:
-»
пр^о = епрьа.
Здесь е — единичный вектор, направленный, как Ь. Если векторы а и Ь лежат на направленной прямой Ь, то их можно записать в виде
о = ае, Ъ = Р«,
где е - единичный вектор, направленный так же, как Ь, а а и Р — числа. Эти числа могут быть положительными, отрицательными или нулем.
Справедливы очевидные равенства
ае ± ре = (а ± р)е, (1)
показывающие, что сложение и вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих чисел а, р.
5.3. Свойства проекций векторов. Числовые проекции векторов а, Ь на данное направление Ь обладают следующими свойствами:
прьо + пр^Ь = прь(о + Ь), (2)
пресса) = апр?а. (3)
Свойство (2) усматривается на рис. 8:
-»-*-»-*-»-» —>
пр^а + пр^Ь = А'В' + В'С = А'С = прьс = пр^а+Ь).
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
53
Рис. 8
Но тогда
епрьа + епрьЬ = епрь(а + 6),
откуда следует (2) (см. (1)).
Так как а = (а — Ь) + Ь (см. рис. 5), то
пр^а — Ь) + прьЬ = прьа,
и, следовательно,
пр^ - пр^ = прь(а — 6). (2')
Докажем (3). Считая, что угол между вектором а и направлением Ь равен со, имеем при а > 0:
пресса) = |(ха|соБ со = а|а|соз со = апрьа;
при а < 0:
прДаа) - |аа|соБ (л - со) = -а|а|сов(л - со) =
= а|а|соБ со = апр^а.
Ведь при а < 0 вектор аа направлен в сторону, противоположную направлению а, и если а образует с Ь угол со, то аа образует с Ь угол л — со.
При а = 0 левая и правая части (3) обращаются в нуль.
54
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
5.4. Скалярное произведение векторов. Назовем скалярным произведением двух векторов а и Ь число (а, Ь), равное произведению длин этих векторов, помноженному на косинус угла ш между ними:
аЪ = (а, Ь) = |а||б|соз(а, 6) = |а||Ь|со5С0. (4)
Очевидно, можно еще сказать, что скалярное произведение векторов а и Ь есть произведение длины вектора Щ на числовую проекцию вектора а на направление Ь или произведение длины \а\ на числовую проекцию Ь на направление а:
