Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 37

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 >

Хп и в случае комплексного Лп действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного Дп. Формула (4") теперь имеет вид
п
(х,Ах)= К*' **>12'
т. е. теперь уже квадраты чисел (х, х") надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4"') теперь уже выглядит следующим образом:
» » п
XX - Xх-1У2.
а в остальном теорема 2 остается в силе.
Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора А и Лп (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть X - собственное значение оператора Аи х° (]х°\ = 1) - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как Ах° = Хл:0, то
X = Х(ж°, ж°) = (Хж°, ж°) = {Ах°, ж°) = (*°, Ах°) =
= (ж°, Хж°) = X (*°, ж0) = X .
Ортогональность собственных векторов оператора, при надлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно.
В самом деле,
Ах1 = Х^1, Ах2 = Х2ж2
(И = 1. И = 1, К * К),
тогда
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
173
\(х\ х2) = (X,*1, х2) = (Ах\ х2) = (ж1, Аж2) =
= (ж1, Х2ж2) = Х2 (ж1, ж2) = Х2(ж!, ж2). Так как X! ф Х2, то (ж1, ж2) = 0.
§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве
При п = 2 квадратичная форма имеет вид апж,2 + а12ххх2 + а21ж2*! + а22ж22 =
= аих2 + 2а^кхх2 + "22ж22, (1)
так как а12 = а21 (мы считаем аы действительными).
Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора ?2) в некотором базисе (ж1, ж2), надо (см. § 22) найти базисные орты ж1, ж2 - собственные векторы самосопряженного оператора А, порожденного симметрической матрицей
а11 а12 "21 "22 ||
Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора А, отличный от метода § 22.
Итак, если Хо - собственное число оператора А и х° = =( х[0), х20) У* 0 - соответствующий ему собственный вектор, то
Ах° = Х0ж°.
Перепишем это уравнение в координатной форме:
174
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
<«іі-*о)*Г +
"12*2 - и»
(2)
(2')
о21*{0>+(о22-Х0)40) =0,|
или в операторной форме:
(А - Х0Е)х° - О,
где Е — тождественный оператор.
Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение х°, что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:
'12
«12 «22 ~ ^0
= [А - \Е\ - 0.
Итак, собственное число Х0 является корнем уравнения
|А - \Е\ = 0, (3)
которое называется характеристическим уравнением оператора А (или квадратичной формы (Ах, х)).
Верно и обратное утверждение. Если \ является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы
(А - Х0Е)х = 0 (4)
будет собственным вектором самосопряженного оператора А.
Следовательно, собственные числа оператора А находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):
(а„ - Х)(а^ -X)- af2 = 0,
X2 - (ап + а^)Х + апа22 - а\г = 0. Решая это уравнение, получаем
К = -|[а11 + «22 + V4a12 +(«11 -«22>2].
§23. КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
175
Отсюда видно, что \ > Х2, при этом X, = Х^ в случае о12 = 0, аи = а22. Будем для определенности считать, что ап > а22 (иначе меняем хх на хг и х2 на хх). Тогда
X, > ап(Хх - ап = |[А/4а122+(а11-а22)2 - (аи - а22)] > 0).
Из (5) следует, что собственные значения оператора А (самосопряженного) - действительные числа.
Теперь по известным собственным числам Хх и Х2 найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как \А - ХХЕ\ = 0, то
ранг (А - ХХЕ) < 1.
Если \ = \, то в этом случае матрица А - ХХЕ состоит из одних нулей (Я., = Х2 = а„ = а22, а12 = 0), т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (а12 = а21 — 0). Системе (4) удовлетворяет любой вектор х = (Жр х2). Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат хг = = I = (1, 0), х2 = / = (0, 1). Любая другая система (ж1, х2) ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.
Теперь, если Хг > Х2, то либо а,2 ф 0, либо а12 = 0, ап * а22. Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть а12 ф 0. Тогда
ранг (А - ХХЕ) = 1.
Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):
(ап - Хх)хх + а12х2 = О. Отсюда имеем (а12 ф 0)
х2 - [("«и + Ю/ах2^хх-
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 >

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed