Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
45
Следующие примеры иллюстрируют этот метод. Пример 8. Найти ранг матрицы
В
(1 2 3 4 5 6 0 10 10 11 12 12 12 1
1,0 0 0 0 0 4 5)
Ясно, что ранг матрицы В не больше 4. В данном случае ап = 1 * 0. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей строке, получаем
3 4 5 6 7
(1 2
0 10 10 11
0 0-2-2 -4 -4 -6 (^0 0 0 0 0 4 5]
Теперь, умножая первый столбец на соответствующие числа и прибавляя его к остальным столбцам, получим матрицу
(1 0 0 0 0 0 0"| 0 10 10 11 0 0-2-2 -4 -4 -6 ^0 0 0 0 0 4 5
В2 =
Второй столбец уже состоит из нулей, кроме элемента а22 = 1 * 0. Умножая второй столбец на (-1) и прибавляя его к 4, 6, 7 столбцам, получим
В, =
(1 0 0 0 0 0 0"| 0 1 0 0 0 0 0 0 0-2-2 -4 -4 -6
^0 0 0 0 0 4 5
46
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
10 о о о о 0Ї
0 1 0 0 0 0 0
0 0-2 0 0 0 0
10 0 0 0 0 4 5;
(10 ООО) 0 10 0 0 0 0-2 0 0 1.0 о 0 4 5;
^я6 =
г1 О ООО) 0 10 0 0 0 0-2 0 0 1,0 О 0 4 О,
г1 О 0 0) 0 10 0 0 0-20
1,0 0 0 4]
Определитель четвертого порядка матрицы В1 не равен нулю, следовательно, ранг В = ранг Б7 = 4.
Пример 9. Найти ранг матрицы
В =
г1 2 1 1 (1 2 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1
.11 0 0> -1 -1 -1
0 0 0> '\ 0 0 0>
0 1 1 1 0 1 1 1
,0-1- 1 - -к 0 0 0
=> в =
10 0 0
1111
10 0 0 0 10 0
і о
О 1
т. е. ранг матрицы В равен двум.
Рассуждения в примерах 8 и 9 основаны на следующем общем утверждении: при элементарном преобразовании В => В'ранг матрицы сохраняется, т. е. выполняется равенство
ранг В = ранг В'. 1
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
47
Это утверждение очевидно, если элементарное преобразование сводится к замене местами строк или столбцов матрицы или к выкидыванию из матрицы ее строки или столбца, состоящих из нулей.
Остается еще один случай, который мы выразим в виде теоремы.
Теорема 5. Пусть матрица В подвергнута преобразованию В В', заключающемуся в том, что к некоторой ее строке (столбцу) прибавляется другая какая-либо строка (столбец), умноженная на число С.
Тогда ранги матриц В и В'равны.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему для строк (для столбцов рассуждения аналогичны).
Пусть й есть номер строки матрицы В = (&ы), умножаемой на число С и прибавляемой к другой строке В, которую будем считать имеющей номер I (таким образом, 1-я строка матрицы В' состоит из элементов СЬк/ + Ь1р у" = = 1.....л). Пусть
ранг В = г, ранг В' = г'.
Достаточно показать, что г' < г, потому что по аналогии доказывается также, что г < г', откуда г = г*.
Если г = 0, то все элементы матрицы В равны нулю и, следовательно, равны нулю все элементы матрицы В', откуда г = / = 0.
Пусть теперь г > 0. Тогда существует матрица А порядка г, порождаемая матрицей В, с неравным нулю определителем (А\ ф 0), а все матрицы А, порождаемые В, порядка, большего г, имеют определители, равные нулю. При преобразовании В => В' матрица А преобразуется в некоторую матрицу А' (А => А'). Пусть матрица А имеет порядок, больший г.
Если 1-я строка матрицы В не участвует в образовании А, то, очевидно, А = А' и 0 = [А| = |А'|.
48
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
Если в образовании А участвуют обе строки В с номерами к и I, то 0 = \А\ = |А'|. Ведь чтобы получить определитель надо к некоторой строке определителя |Л| прибавить определенную другую его строку, умноженную на число С, от чего величина определителя не меняется.
Наконец, пусть в образовании матрицы А участвует 1-я строка, но не участвует А-я строка. Очевидно (см. свойство з) определителя),
\А'\ = |Л| + С]Л|, (19)
где Л — матрица порядка, большего г, получаемая из А заменой элементов 1-й строки на соответствующие элементы А-й строки матрицы В. Но такая замена не меняет ранг В и так как |Л| = 0, то |л| = 0.
Из (19) получаем \А'\ = 0 + С-0 = 0.
Мы пересмотрели все случаи, когда матрица А' имеет порядок, больший чем г, и всякий раз оказывалось, что
= 0. Это показывает, что
г' = ранг В' < г,
что и требовалось доказать.
§ 5. Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система координат1
5.1. Понятие вектора. В этом параграфе мы будем рассматривать реальное пространство. Понятие вектора в реальном пространстве читателю известно из элементарной геометрии.
Вектором (в реальном пространстве) называется налрав--»
ленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной
Отметим, что в данной книге сначала излагается скалярное произведение векторов, затем аналитическая геометрия прямой и плоскости и после этого в §§ 11-13 излагаются понятия векторного и смешанного произведений векторов. При желании эти параграфы могут быть изложены непосредственно после § 6.
§5. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ВЕКТОРЫ
49
точкой В, который можно передвигать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных
отрезка АВ и А1В1» имеющие равные длины (\АВ\ = І^В,!) и одно и то же направление, определяют один и тот же
-» -»
вектор а, и в этом смысле пишут а = АВ = А1В1 (рис. 2).
-» —>
Длиной | АВ | = |а| вектора АВ = а называется число
(неотрицательное), равное длине отрезка АВ, соединяюще-
