Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Нашей целью будет доказать следующие правила (явным образом они сформулированы и доказаны Кронеке-ром и Капелл и).
Если мы хотим решить систему (1), для которой известно, что ранг матрицы А ее коэффициентов равен А, то мы должны узнать ранг расширенной матрицы
°и ••- аы У1 а„1 ... апп уп
зо
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уі
У2 Уг
Уп ^Уп >
1) Если ранг В больше ранга А (ранг В > ранг А = А), то система (1) вовсе не имеет решений. Она противоречива — не существует вектора х — (ж,, хп), удовлетворяющего одновременно всем уравнениям (1).
2) Если ранг В равен рангу А (ранг В — ранг А = к), то система (1) имеет решения. Чтобы найти их, мы должны выбрать из системы (1) какие-нибудь А уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг А, и решить эти А уравнений. Решений у этой системы из А уравнений будет бесконечно много, но их можно записать в обозримом виде.
При этом любое решение взятых нами А уравнений автоматически является решением остальных п — к уравнений системы (1).
Правила 1) и 2) исчерпывают возможные ситуации, потому что ранг В не может быть меньшим А.
Ведь матрица А по условию порождает не равный нулю определитель А-го порядка, который порождается также и матрицей В.
4.5. Примеры приложения правил. Пример 1. Система
х + у = 1,
х-у = 2
имеет определитель
л =
1 1
1 -1
-2*0
_§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 31
т. е.
-з,
Д2 =
= 1,
Пример 2. Система
х+у = 1,1 х + у = 2\
имеет определитель, равный нулю. Матрица
(6)
1 1 1 1
имеет ранг А = 1. А матрица В
1 1 1 1
имеет ранг В = 2. Так как ранг В > ранг А, то система (6) не имеет решений. Это видно, впрочем, и без нашей теории: одно и то же число не может равняться и 1 и 2.
Пример 3. Система
2х + 2у = 2,1
Зх + 3у = 3\ (7)
имеем определитель А - 0 Матрица
и потому имеет единственное решение, которое можно пычислить по формулам
х = дуд, у = а2/А,
где
1 1
32
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2 21
А = II3 3II
имеет ранг А = 1. Расширенная матрица
II2 2 2II
В =
3 3 3
тоже имеет ранг В = 1. Так как ранг А = ранг В = 1, то берем одно уравнение
2х + 2у = 2. (8)
Коэффициент при ^/ не равен нулю, поэтому это уравнение можно решить относительно у:
2-2х
У = —= 1 - х. (9)
Формула (9) дает все решения уравнения (8). Мы можем задать любое значение х (-¦=» < х < <*>) и вычислить значение у по формуле (9). Получим систему (вектор) {х, у), удовлетворяющую уравнению (8). Множество всех систем (х, 1 — х), где х е (-°°, °°), образует множество всех решений уравнения (8). Эти решения автоматически являются решениями и второго уравнения системы (7), потому что ранг А = ранг В. В данном случае этот результат очевиден без применения теории о рангах матриц. Коэффициенты уравнений (7) вместе с их правыми частями соответственно пропорциональны, поэтому ясно, что всякое решение одного из этих уравнений является также решением другого.
Пример 4. Система
X + у + 2 = 1,
2х + у + 2г = 1, х + у + Зг = 2
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
33
имеет определитель
111
2 12 113
= -2*0
и поэтому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам
д
1 1 1
112
2 13
1_ 2*
У =
-1
2
111
2 12 12 3
1,
г =
1 1 1
2 1 1 112
1
2
Пример 5. Система
имеет определитель
X + у + 2 = 1,
х + у + 2г = 1, х + у + Зг = 2
Д =
111 112 1 1 3
2 Бугров. Т. 1
34
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрица
А =
111 112 113
имеет ранг А = 2, так как А = О, но имеется определитель второго порядка, порожденный матрицей А, не равный нулю. Например,
= 1*0.
Матрица
В =
1111
112 1
113 2
имеет ранг В = 3, так как определитель, порожденный этой матрицей,
111
12 1
13 2
1*0.
Так как ранг В > ранг А, то система не имеет решения. Пример 6. Система
X + у+ 2 = 1,
х+ y + 2z = l, 2x + 2y + 4z = 2
(10)
имеет определитель
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
35
111
1 1 2
2 2 4
ДІєгко подсчитать, что матрицы
= 0.
А =
111 112
2 2 4
В =
1111 112 1
2 2 4 2
имеют равные ранги, причем ранг А = ранг В = 2. Выберем из системы (10) два уравнения так, чтобы ранг матрицы А' из коэффициентов этих уравнений был равен 2. В данном случае можно взять первое и второе уравнения или первое и третье. Итак, рассмотрим систему
х + у + z = x + y + 2z =
(Н)
Перенесем в правые части этих уравнений одно из неизвестных так, чтобы коэффициенты при оставшихся неизвестных образовывали матрицу А", у которой ранг А" = 2. В данном случае можно перенести или х или у. Итак, неоднородная система
х + г = 1-у, х + 2z = 1 - у
(12)
имеет определитель
1 1
1 2
= 1*0,
поэтому она имеет единственное решение при любой правой части:
2*
36
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
x =
_1_
Д"
1-У 1-У
1
2
= 1 - У,
г =
Д"
1-у
1-У
= о.
Таким образом, тройки чисел (1 - у, у, О) при всяком у 6 (—°°, °°) дают все решения системы (12) и автоматически решения третьего уравнения системы (10) (это уравнение получается из второго умножением на 2).
4.6. Обоснование правил.
Теорема 4. Если система (1) совместна, т. е. имеет хотя бы одно решение х, то необходимо ранг В = ранг А.
