Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бугров Я.С. -> "Высшая математика" -> 8

Высшая математика - Бугров Я.С.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Под редакцией Садовничего В.А. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка): vishmat2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 37 >> Следующая

Теорема 4 дает обоснование правилу 1) (стр. 29), по которому, если ранг В > ранг А, то не выполняется необходимое условие совместности (непротиворечивости) системы (1).
Доказательство теоремы 4. Пусть система (1) имеет решение и ранг А = А. Нам надо доказать, что ранг В = А. Так как по условию ранг А — А, то существует не равный нулю определитель А-го порядка, порождаемый матрицей А, следовательно и матрицей В. Поэтому ранг В > к. Остается доказать, что всякий определитель (А + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю. Если такой определитель состоит только из элементов ац, то он заведомо равен нулю, потому что он порождается также и матрицей А, которая по условию имеет ранг к. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В и содержащей в себе столбец из чисел уг равен нулю. Не нарушая общности, можно считать, что это определитель
°11 ••• а\к У\
а?+1Д ак+1,к Ук+1
К этому можно свести любой случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные хг По условию система (1) совместна, т. е. существует вектор х = (дс,, .... х^, удовлетворяющий уравнениям этой системы. Но тогда х, в
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
37
частности, удовлетворяет первым к + 1 уравнениям заново перенумерованной системы. Следовательно,
Оц*! + +аихк +/Ц -0,1
+ = о»
где
«?+1,1*1 + • • • + ак+1,кХк + Кк+1
= аиь+\хк+\ + •¦•+ Оыхп -Уі»
(13)
ї-к+І = ак+1,к+1Хк+1 + •••+ 0-к+\,пхп Ук+1
Составим систему с неизвестными г,, г2, гк+1: а1121+ ... +й\кгк +^1г*+1=0'
«/г+1.1г1 + + ак+л.,кгк + ^к+12к+\ - °-
(14)
(15)
На основании (13) и (14) эта система удовлетворяется числами х , .... х , 1, среди которых во всяком случае одно не равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см. теорему 3), т. е.
о =
ои ... ахь оі,к+іхк+і + +аыхп Уі «й+і і ¦•• ак+\,ь ак+1,к+1хк+1 + -• • + ок+1пхп -Ун+1
-5>.
5=Й+1
«11
.. а
\1г
па
а/г+1.1 ••• ак+\,к ак+\,в
а
11
Ък Уі
ак+1л ••• ам,к Ук+1
38
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
'11
а1к У\
ак+і,і ••- аь+і,к Ум
(16)
потому что определители ((А + 1)-го порядка!), входящие в
у
сумму 4—1 , равны нулю - ведь ранг матрицы А равен А.
Мы доказали, что любой определитель (А + 1)-го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к обоснованию правила 2) (стр. 29). Так как ранг матрицы А равен А (ранг А = А), то система (1) содержит А уравнений, матрица коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель А-го порядка. Перенумеровывая заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые к уравнений системы (1)
"іЛ
+ атхп ~у1ш
акіхі +
+ °кпХп = У к
(10
будут иметь определитель
о =
«11 •¦• Оц,
* о.
••• °кк\
Перенумерованную систему (1') перепишем еще так: аихг + ...+ аіЛ - Уі~аик+1хк+1 - ... - аыхп,
акІх\ + ••• +аккХк - Ук~ ак,к+1Хк+1 ~ •¦• ~" акпхп'
(17)
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
39
В силу того, что определитель а Ф О, любой системе чисел ••¦» хт соответствует единственная система чисел ху, хк, которые, очевидно, можно записать следующим образом:
с о
•~аяпхп)Аяі,
я=1
О* 1 * О О
в=1
(18)
где А1( — адъюнкты элементов ал в определителе о. Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле
(18). Числам дс>+1.....хп можно придавать любые значения,
а числа хх, .... хк будут вычисляться по формулам (18). Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.
Мы хотим обосновать, что, если ранг А = ранг В — к, то любое найденное нами решение х первых А уравнений системы (1) автоматически является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем, что оно является решением (А + 1)-го уравнения. Итак, рассмотрим первые (А + 1) уравнений системы (1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение х первых А уравнений (13) автоматически является решением (А + 1)-го уравнения в (13). Пусть х есть вектор, удовлетворяющий первым А уравнениям в (13). Составим уравнения (15) относительно неизвестных г,, гш, где числа Л1, вычисляются по формулам (14) через компоненты хш, хп вектора х. Определитель системы (15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево. По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное решение г,, гг, .... ям- Здесь число гк+1 ф О, потому что, если допустить, что система (15) имеет решение вида г,, гк, 0, то числа г,, гк должны обратиться в нули, потому что определитель о Ф 0. Но тогда аг, = ... = гк = гк+1 = = О и система г,, гм была бы тривиальной. Вследствие
40
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
однородности системы (15) не только числа гх, .... гк+1 удовлетворяют этой системе, но и числа (гм ф 0)
г\ = V**.. = гь/гм, 1
обладают тем же свойством. Но тогда числа г\, г'к удовлетворяют системе первых к уравнений (13), имеющей определитель о * 0. Мы уже знаем, что эта последняя система имеет решения ж,, хк и в силу единственности
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed