Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
А + В = С.
Легко видеть, что
А+ В = В + А,
(А + В) + С = А + (В + С).
Произведением числа А, на матрицу А (или произведением матрицы А на число А.) будем называть матрицу, элементы которой равны произведению числа А, на соответствующие элементы матрицы А. Таким образом, АА = АХ.
Пример. Пусть
(і О 2
А =
^2 З 1)'
(2 0 1 2 11
Найти матрицу АА + цУЗ.
На основании определения суммы матриц и умножения матрицы на число имеем
АА =
"к О 2А.' 2А, ЗА. А. у
АА + цВ
А, + 2ц 2А. + 2ц
иВ = О
ЗА. + 11
"2ц О |Г 2ц ц Цу
2А. А
_§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ_25
аи*1 +
+ <11пхп = Уі>
«пі*і +
Уп-
(1)
Числа ак1 (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы (1), заданы. Будем еще говорить, что система (1) определяется матрицей
А = \\аЛ
її
а
а„
(2)
ее коэффициентов.
Нас будет интересовать вопрос о разрешимости системы (1) для каждого вектора (системы чисел)
У = {У\.....У„)-
1 Л. Кронекер (1823-1891) - немецкий математик, А. Капелли (1855-1910) - итальянский математик.
§ 4. Система линейных уравнений. Теория Кронекера—Капелли1
',.1. Система из п линейных уравнений с п неизвестными. Будем называть произвольную систему из л чисел (л:,, хп) п-мерным вектором и обозначать его также одной (жирной) буквой х:
x (^], ...» ^п)'
Числа х. (действительные или комплексные) называют компонентами вектора х. Вектор
О = (О, 0)
называется нулевым вектором.
Зададим систему из п линейных уравнений с п неизвестными
26
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система чисел (вектор)
х = (хг хп)
называется решением системы уравнений (1), если числа х. удовлетворяют этим уравнениям.
4.2. Формулы Крамера.
Теорема 1. Если определитель системы (1) не равен нулю:
А = Ы * О,
то система (1) имеет единственное решение для любого вектора у, вычисляемое по формулам (Крамера1)
х. = Д'/Д О' = 1..... п), (3)
где А' - определитель, получаемый из определителя А, если в нем заменить числа уго столбца соответственно на числа у1.....уп:
А> =
°і,у--і У\ аи+і
ап.)\ Уп «,../>!
Таким образом,
1 "
= —У. А,
Чп
у а = і,.... п).
(4)
(3')
где А8/ есть адъюнкт элемента а^ в определителе А.
Доказательство. Пусть (х,, яги) есть решение системы (1). Чтобы найти неизвестное число л:,, умножим первое уравнение системы (1) на адъюнкт Ап, второе - на А,,, п-е — на Ап1 и сложим все уравнения системы. Тогда, учитывая, что
1 Г. Крамер (1704-1752) - швейцарский математик.
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
27
п п
ХамХАі = *>ХаліА> = хА
II
получаем дг,Д = А1, где
Уі а\2 •¦• ат
Уп ап2 ••• апп
Следовательно, так как по условию А Ф 0, то хх = Д'/Д-В общем случае при произвольном у умножаем первое уравнение системы (1) наА1у, второе - на А2;, п-е — на Ая>, складываем эти уравнения и получаем на основании свойств определителей е), ж) равенство
л п
Ь=1 к=1
т. е.
хА = А',
где
ап ••• «1,;~1 У\ а1,;+1 ••• аы
ап1 ап,1-\ Уп °п,;+1 ••• апп
Отсюда в силу того, что А Ф 0, следует равенство (3).
Мы доказали, что если (хг, хп) есть решение системы (1), то числа х определяются формулами (3').
п
а* = 5>*А, =
«=1
л
д'= Х^А> =
й=1
28
§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обратно, совокупность чисел д: = Д'/Д (у = 1, п) является решением системы (1). В самом деле, подставляя * (у = 1, п) в левую часть А-го уравнения (А = 1, п) системы (1), на основании свойств е), ж) определителя, имеет
" Д; 1 " " 1=1 У=1 «=1
1 " " 1
8=1 ;'=1
Таким образом, числа (3') действительно являются решением системы (1).
4.3. Однородная система. Система уравнений вида
аіЛ + ... +а1пхп = О,1
а„і*і + ••¦ +а„„л:п = О
(5)
называется однородной. Она является частным случаем системы (1) при ух = ... = уй = О. Ясно, что нулевой вектор
= О, . . . , хп = О
удовлетворяет однородной системе (5). Но может случиться, что однородная система (5) удовлетворяется не нулевым вектором х = (я:,, х^, т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту х1 Ф О. Его называют нетривиальным решением однородной системы (5), а нулевой вектор поэтому называют тривиальным решением однородной системы (5).
_§4. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ_29
полученной присоединением к А столбца
Теорема 2. Если определитель А однородной системы (5) не равен нулю (А * 0), то эта система имеет только тривиальное решение.
В самом деле, в силу свойства г) все определители Д' = - 0 (см. (4)), поэтому в силу равенств (3) х. = 0 (] = 1, п).
Теорема 3. Если система уравнений (5) имеет нетривиальное решение, то ее определитель А необходимо равен нулю (Д = 0).
В самом деле, если бы Д Ф 0, то по теореме 2 система (5) имела .бы только одно тривиальное решение.
Выше мы исследовали линейную систему (1) в случае, когда ее определитель Д ^ 0. В этом случае было показано (теорема 1), что система (1) имеет для любой правой части У ~ (У\> •••» У„) единственное решение, вычисляемое по формулам (3).
4.4. Правило решения системы линейных уравнений. Теперь мы переходим к исследованию системы (1) в случае, когда ее определитель Д = 0. Будем предполагать, что хотя бы один элемент матрицы А (см. (2)) не равен нулю и обозначим ранг А через А (А = = ранг А). Таким образом, 1 < А < п.
