Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
А =
1 О
О
о
1 а2-ах а2(а2-а1) ... ак2г(а2~а{)
1 а*-а, ал(а*-а,) ... а*"2^ - ві)
К - - а,) ... (а, - а,)
1 а2 ... а. 1 ач .
к~2 2
,А-2
1 а* ... в;
А-2
' А. Т. Вандермонд (1735-1796) - французский математик.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
19
Последний определитель есть также определитель Вандермонда порядка (А -1), порожденный числами а2, ак, поэтому, по предположению, имеем
А. = К _ С1Ж-1 - ад — («2 _ ах)'
'К ~ а.-2Ж-1 - °*-2)'
Таким образом, в силу метода математической индукции формула (12) верна при любом п > 2.
Свойство к) Пусть
\ - lb.il. \ - М-Произведение двух определителей п-го порядка с элементами Ьк1, аы есть в свою очередь определитель п-го порядка с элементами
п 7=1
т. е.
АА =
;=1
Таким образом, элемент уы, принадлежащий к к-й строке и 1-му столбцу определителя Д, равен, как говорят, произведению к-й строки определителя Д1 на 1-й столбец определителя Д2. На самом деле это есть сумма произведений элементов к-й строки определителя Д, на соответствующие элементы 1-го столбца определителя Д2.
20
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
Так как в определителях Д, и Д2 можно менять строки со столбцами, то, очевидно, элементы уы произведения Д можно строить также, беря произведение А-й строки Д, на 1-ю строку Д2 или произведение А-го столбца Д, на 1-й столбец Д2 или А-го столбца на 1-ю строку.
Доказательство. Убедимся в справедливости свойства на примере определителей второго порядка:
д. =
Ъ\2 • А2 = «11 «12 , д = 7п 712
Ь21 Ь22 а21 «22 721 У22
где
Уи = &11«11 + 612«21> УЯ = 621«11 + 622«21>
В силу свойств з), в), д)
712 = Ь11а12 + 612«22-722 = 621«12 + 622С22-
^21«11 ^21«12 + ?>22«22
&12«21 ^Аг + 612«22
^22«21 ^21«12 + ^22«22
"11 "11 *>21 *>21
^11
^21
*>12 Ь22
+ «12«21
*>12 *>22
11
"21
+ «21«22
"22
&12 622
= С11а12-° + «11 «22
611 612
^21 "22
^11 #12
^21 ^22
+ а21агг-0 = а.^Д, - а12аг1Д, = д1(а.,а22 " а12«21) - А1А2-
В общем случае определителей п-го порядка можно записать:
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
21
81=1 п
«1=1
8„=1
8Я = 1
*1=1
ХС2»2Ь»21 Ха2*2Ь*22 Ха2«2Ь*2П
«2=1 в2=1 в2=1
» * *
«„=1
п п п
«1=1Я2=1 *п=1
6«!1 Ьв12 6«21 6«22
*2"
ь5„1 ь,„2 •¦• Кп
X «1*! «2,2 • • • ««*„ = АД.
«=(Я1,«2.....я„)
При вычислении отдельных элементов Д мы вправе выбирать
п
любой индекс суммирования в (уы = ^^О*» но для ладьей
нейшего удобно для первой строки Д взять в качестве такого индекс в,, для второй -в2 и т. д. Второе равенство имеет место на основании свойств з) и в); при этом кратная сумма
п п п
У, ... распространяется на всевозможные перестанов-
8! =152=1 «„=1
ки (в,, в2..... в,,), где 1 < в1 < п. Однако если в какой-либо
22
§3. МАТРИЦЫ
системе (в,, в2, вп) две компоненты в, и в1 равны между
собой (в,. = вг i* * У), то определитель |Ь4^| = 0. Поэтому на
самом деле в кратной сумме можно оставить только члены, соответствующие разным перестановкам (в,, .... 5п) и натуральных чисел (1, л). При этом, очевидно, окажется, что определитель
= (-1)"^.
§ 3. Матрицы
Таблица чисел а(> (действительных или комплексных)
вида
«11 ••¦ «1л
а
ті """ ^тл
ссп ... а
1л
\^ «ті • • • °тл у
= іісді = (сд, (і)
состоящая из т строк и п столбцов, называется матрицей. Числа а.ц называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. При т = п она называется квадратной матрицей п-го порядка.
Если задана вторая матрица В = ||р1;Л с элементами р^, тоже состоящая из т строк и п столбцов, то она считается равной матрице А тогда и только тогда, когда соответствующие элементы обеих матриц равны (сс^. = р\р. В этом случае пишут А~ В. Матриа ||а^| не есть число — это таблица. Однако для квадратной матрицы можно рассматривать число |оу — определитель, порожденный этой матрицей.
Пусть А — натуральное число, не превышающее ттл. п (А < т, п). Зачеркнем в таблице (1) какие-либо А столбцов и А строк. Элементы сс^, находящиеся на пересечении
§3. МАТРИЦЫ
23
зачеркнутых столбцов и строк, образуют квадратную матрицу, которая порождает определитель А-го порядка. Полученный определитель называется определителем А-го порядка, порожденным матрицей А.
Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число А, для которого существует не равный нулю определитель А-го порядка, порождаемый матрицей А (см. § 4).
Если в матрице А сделать ее строки столбцами с тем же самым номером, то получим матрицу
А' =
ссп ... а
ті
сс1п ... сс„
(2)
называемую транспонированной к А матрицей.
Если в матрице А ее элементы ссы заменить на им комплексно сопряженные, то получим матрицу
А =
а
и
сс
1п
ОС
пі
СС
называемую комплексно сопряженной с А матрицей. Далее матрица
А' = (А)' =
ссп ... а
ПІ
С<1„ - •. сс„
А*
называется сопряженной с А матрицей.
Если А — действительная матрица, т. е. имеющая действительные элементы (аы = ссы), то, очевидно,
А = А, А' = А*.
24
§3. МАТРИЦЫ
Матрицы одного и того же размера, т. е. состоящие из одинакового числа строк и столбцов, можно складывать. Суммой двух таких матриц А = |ссі;.|| и В = ||р^| называется матрица С = ||у,у||, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: у — аг + Рц. Символически этот факт будем записывать так:
