Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Структура выражения (1) довольно проста. Это есть число, вычисляемое по элементам аы по следующему наглядному правилу (Саррюса): составим таблицу (Саррюса), полученную из элементов определителя (2), если приписать к ним первый и второй столбцы определителя (рис. 1). Мы видим, что надо взять всевозможные произведения элементов, зачеркнутых прямыми; при этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, надо взять со знаком минус.
е>/ ва €г„ е,г
\хх
аг1 егг агз агг
10_§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ'ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
1 2 3,
2 3 1,
3 1 2'.
3 2 1,
1 3 2,
2 1 3,
(3)
(4)
Это всевозможные перестановки из чисел 1, 2, 3. Перестановку
1, 2, 3 (5)
из чисел 1, 2, 3 назовем основной.
Говорят, что в перестановке произведена транспозиция двух определенных ее элементов, если эти элементы заменены местами. После транспозиции перестановка переходит в другую перестановку. В этой последней можно сделать в свою очередь транспозицию, в результате получится третья перестановка (но не исключено, что и первая).
Например, перестановка
3, 2, 1 (6)
получена транспозицией первого и третьего элементов -перестановки (5), а перестановка
_§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА_И
2, 3, 1 (7)
транспозицией первого и второго элементов перестановки (6).
Важно отметить, что, если некоторая перестановка получена из основной посредством N транспозиций и если ета же перестановка получена из основной каким-либо другим путем посредством Ы1 транспозиций, то оба числа N и Ы1 одновременно либо четные, либо нечетные. Перестановка чисел 1, 2, 3 называется четной (нечетной), если она получается из основной перестановки при помощи "четного (нечетного) числа транспозиций.
Пусть дана перестановка / = 0'^ 72» Л))> гДе Л> Л» Л это числа 1, 2, 3, взятые в некотором порядке. Число транспозиций, с помощью которых можно получить эту перестановку из основной перестановки, обозначим через *(/)¦ Тогда перестановка / является четной (нечетной), если *(/) — четное (нечетное) число.
Перестановки (3) - четные, а (4) - нечетные.
После сказанного можно дать другое эквивалентное определение определителя 3-го порядка.
Определителем или детерминантом 3-го порядка (2) называется число Д, равное сумме
А - Х<-1>'0Чл«2д«ЭД| (8)
произведений вида (-1Уи)а1ка2^а3)з , где у" = (у,, у"2, у'3) -
всевозможные различные перестановки основной перестановки 1, 2, 3.
Это определение обобщается на определители или детерминанты /г-го порядка (п = 1, 2, 3,...).
2.2. Определители /г-го порядка. Определителем или детерминантом п-го порядка называется число, записываемое в виде
Каждое произведение с указанным знаком называется членом определителя (2). Среди входящих в произведения элементов имеются представители от каждой строки и от каждого столбца. Эти элементы можно в каждом члене расположить в порядке возрастания первого индекса, т. е. номеров строк, к которым они принадлежат. Это и сделано в сумме (1). Что же касается номеров столбцов, к которым принадлежат эти элементы, то их расположения даются ниже:
12
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
*11
"1в
02п
(9)
ап1 ... ап
и вычисляемое по данным числам а1к (действительным или комплексным) - элементам определителя - по следующему закону: Д есть сумма
распространенная на всевозможные различные перестановки у* = 0\.....у'„) из чисел 1, 2, .„, п. Число *(/") равно числу
транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, п к перестановке у" = (д,
у"п). Произведение (-Ц'^Оу ...а„у называется членом
определителя.
Определители п-го порядка удовлетворяют свойствам а), б), в), г), д), перечисленным в предыдущем параграфе.
Доказательство, а) После замены у определителя соответствующих строк столбцами теперь уже номера строк будут обозначаться вторыми индексами. Например, для определителя третьего порядка (2) будем иметь
Х11 а21
42 "22
ПЗ "23
*31
а.
32
*33
= а11а22а33 + а21°32а13 + а31а21а23
_ а31а22°13 ~ а11а32а23 ~ а21а12азЗ = Д"
В общем случае общий член нового определителя запишется
(-1)''Х1а/22...а;п„.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
13
Упорядочим множители произведения а;11ау2 2.. - аУл„ по
первому индексу, т. е. мы переходим от перестановки у = — (у у ) к основной перестановке 1, 2, п. При этом мы должны совершить ?(у) транспозиций. Тогда основная перестановка вторых индексов перейдет в некоторую перестановку ? = (»,, 1п) и число ЦГ) будет той же четности, что и число *(у). Таким образом,
<-1),(лв
*1*,"2Ь
...а
Нетрудно видеть, что разным перестановкам Д, ...,]„ соответствуют разные перестановки 11, Ьп. Но тогда
Е(-1)'(/)«л1-а/> = Х<-#<%1--«ч. - д.
б) Поменяем местами, например, первую и третью строки определителя третьего порядка (2). Тогда получим определитель, который обозначим через Д', он будет равен
Д' =
«31 а.
32
х33
а21 °22 а23
*11
П2 "13
