Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
; /=(;з.У2.л)
так как перестановка у = 0\> У2' Л) отличается от перестановки у" = (у'3, у'2, у\) = (у,1» Л1» Л') °Дн°й транспозицией.
Будем говорить, что число к умножается на строку (столбец) определителя, если на самом деле к умножается на все элементы строки (столбца).
в) Умножение на число А какой-либо строки (столбца) определителя сводится к умножению всех его членов на А, потому что каждый член содержит один элемент указанной строки (столбца). Но тогда величина суммы членов умножится на к.
14
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
г) Определитель, у которого элементы какого-либо столбца или строки равны нулю, равен нулю, потому что все его члены, очевидно, равны нулю.
д) Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Это следует из свойства б) (Д' = —Д, Д' = Д, откуда Д = 0).
Вычеркнем из определителя (9) /г-го порядка 1-ю строку и к-& столбец. Оставшееся выражение порождает определитель (п - 1)-го порядка М№, называемый минором элемента а.к. Величина же
4, = (~1)'+*М,
называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента а1к.
Свойство е) Сумма произведений элементов а№ некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя:
п
Ь=^аЛАа (*=1, л), (Ю)
п
А=^а1кА1к (к = 1, .... тг), (10')
1=1
Докажем это свойство для определителя третьего порядка в случае третьей строки. Имеем
°зг^з1 ~*~ азг^з2 ~*~ азз^зз =
а12 а13 °11 «13 + азз а11 а12
= °31 а22 °23 " °32 °21 а23 °21 °22
= а31(а12а23 - а13а22) + а32(а13а21 - апа23) +
+ а33(апа23 - а12а21) = Д.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
15
Сумму (10) называют разложением определителя по элементам 1-й строки, а сумму (10') — разложением определителя по элементам к-го столбца.
Пример 1. Если в определителе Д (см. (9)) а21 = а31 = — ... = ап1 = 0, то Д = апАп, т. е. вычисление этого определителя сводится к вычислению одного его адъюнкта, т. е. определителя (п - 1)-го порядка.
Пример 2. Если все элементы Д, стоящие ниже (выше) главной диагонали Д, равны нулю (ак1 = 0, если к> I (к < I)), то Д = апа22 ... апп. Это следует из предыдущего примера.
Свойство ж) Сумма произведений элементов а1к некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты элементов другой строки (столбца) равна нулю:
2>*А>*= 2>*Ау= о (11)
(г * У; I, У = 1, .... л).
В самом деле, зафиксируем наше внимание на первой сумме. Эта сумма не зависит от элементов у'-й строки. Заменим в нашем определителе элементы у'-й строки на соответствующие элементы 1-й строки. От этого рассматриваемая сумма не изменится. Между тем теперь ее можно рассматривать как разложение нового определителя по элементам у'-й строки, но тогда она равна величине нового определителя. Но последний равен нулю на основании свойства д), потому что он имеет одинаковые строки — 1-ю и у-ю.
16
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-го ПОРЯДКА
Свойство з) Пусть даны два определителя п-го порядка Д, и Д2, у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю Д п-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из сумм соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей Д, и Д2. Например,
\ + А2
а11 а1,л-1 «1/1
ал1 ••• ал,п-1 алл
+
а11 ••• а1,л-1 ^
1л
ал1 ••¦ ап,л-1 К
а11 ••• а1.л-1 (°1л +&1л)
ал1 ••• ап.п-1
В самом деле, разлагая данные определители по элементам /г-го столбца, получим
л л "
А=1 А=1 *=1
Свойство и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число И. Например:
«и ••• °1.п-1 °1л +^а11)
ат ••• ап,л-1 апп +кап1)
а11 ... аы
ат ¦•• °лл
+
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И п-го ПОРЯДКА
17
+ к
*1.п-1
'11
*л1
к,1+ *-о = К,|,
в силу свойств з), в), д).
Надлежащее применение этого свойства приводит вычисление данного определителя к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример 3.
1 4 5 1 4
2 3 1 0 -5
8 1 1 8 1
- 5 - 9 5 9
-31 - 39 31 39
Пример 4.
2 1 1 0 1 0
1 3 2 = -5 3 -1
1 4 6 -7 4 2
14 5 О -5 -9 О -31 -39
= 5-39 - 9-31 = -84.
-5 -1 -7 2
5 1 -7 2
= 17.
Пример 5. Определитель
Д =
1 Ох а?
ч 2
1 а9 а9
,л-1
аГ1
1 о г, а„
-Л-1
18
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО И л-п нпрнп»
порожденный числами а,, а2, ап называется степенным или определителем Вандермонда '.
Этот определитель равен нулю, если какие-либо два числа а1 и ак равны между собой. Если все а. различны, то
Ап " К - о,Кая , - а,) - (а2 - о,)-•К - а2)К , - а2) ... (а3 - а2)-
'К - о.-,)-В самом деле, при п = 2
(12)
Д2 =
1 а1
1 а2
= а2 ~ а,,
т. е. формула (12) верна. Допустим, что формула (12) верна при п = к - 1, и докажем, что она верна при п = к. Будем использовать свойства и), в) определителя. Умножим А>-1-й столбец в определителе Ак на а, и вычтем из й-го, к-2-й столбец умножим также на а, и вычтем из й-1-го и т. д.; тогда получим
