Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
Мы доказали, что сложение и вычитание векторов и умножение их на числа выражаются на языке троек (ху, х2, х3) следующим образом:
> %2 » -*-з) — (^"1» х2 • ХЭ>) =
= (х1±х'1,х2±х2,х3±х'3), • а(хх ,х2,х3) = (ахх, ах2, ах3).
Скалярное произведение векторов х = (хг, х2, х3) и х' = = (хх'2, х"3) выражается через координаты векторов л- и х' по формуле
хх' = (х, х') = х1х'1 + х2х'2 + х3х\. (13)
Длина вектора х = (хх, х2, х3) есть неотрицательное число, равное
Ы = 4Х1 + х1+х1 ¦ (14)
Наконец, расстояние между точками х = (хх, х2, х3) и = (*'г Л""2, *'3) равно
I* " А = - *1>2 + <*? - *2)2 + (*з - *з)2 ¦ (15) Реальное пространство, геометрию которого мы здесь изучали, называется трехмерным пространством, потому что его точки естественным образом представляются тройками действительных чисел. Мы будем его обозначать через 1^.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
59
Произвольную плоскость естественно обозначить через Д2. В Л2 можно задать прямоугольную систему координат хх, х2, с помощью которой любую точку Е2 или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (хх, х2). Операции сложения и вычитания и умножения на число для векторов, принадлежащих к плоскости, очевидно, подчиняются выведенным нами условиям (12), где в скобках надо только всюду выбросить третьи компоненты. Скалярное произведение векторов, принадлежащих к нашей плоскости, тоже выражается формулой (13), где в правой части надо выбросить третий член. То же самое относится и к формулам (14) и (15).
Обобщением пространств И2 и Я3 является пространство .К , где п — произвольное натуральное число.
Пространство Лп при п > 3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.
ЗАДАЧИ
1. Найти длину векторов (1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 2, 3).
2. Найти угол между векторами (1, 0, 1), (1, 2, 3).
3. Дан единичный куб (с длиной ребра, равной 1). Найти угол между выходящими из его вершины: а) главной диагональю и диагональю грани; б) между двумя диагоналями двух граней.
§ 6. л-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение
6.1. ге-мерное пространство. Множество всевозможных систем (дс1, хп) действительных (комплексных) чисел называется п-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через Дл. Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса:
X = (*,, хп)
со
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
и называть точкой или вектором В.п (пространства іїп).
Числа х1.....хп называют координатами точки (вектора)
х или еще компонентами вектора х. Две точки
X = (*,, .... хп), х' = (х\, х\)
считаются равными, если их соответствующие координаты равны
х, = х'і С/ = 1. —, п). В других случаях х ія. х' различны (х ф х').
Системы (векторы) х = (д^, .... хп), у = (у^ .... уп) можно складывать, вычитать и умножать на числа а, р, ... -действительные, если і?л есть действительное пространство, и комплексные, ели Нп - комплексное пространство1.
По определению суммой векторов хну называется вектор
х + у = (х1 + ух, х2 + у2, хп + ул), (1)
а разностью — вектор
*-»-<*!- Уі..... хя - уп). (2)
Произведением же числа а на вектор х или вектора х на число а называется вектор
ос* =» ха = (ахг ахп).
Наконец, вектор -х определяется равенством
Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю: О = (0, 0). Очевидно, выполняются свойства:
1) х + у = у + х,
2) (х + у) + г = х + (у + г),
1 О комплексных числах см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 5.3.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
61
3) х - у = х + (-1)1,,
4) а* + ау = а(х + у),
5) ах + Рж = (а + Р)х,
6) а(Р*) = (ар)х,
7) 1-х = х,
8) х + (-х) = 0,
где ос, р — числа, а х, у е Дл.
Пространство Дп называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) — 8), см. ниже замечание 1.
Число (неотрицательное)
1*1= Л>* (3)
называется длиной или нормой вектора х = (х1, хп) в действительном пространстве Д„.
Расстояние между точками х = (х1.....хп) и у =
= (уу, .... ^/п) действительного пространства Лп определяется по формуле
I*- У1= лЕ(д:*-^)2 - (4)
6.2. Скалярное произведение в действительном пространстве Лп. Скалярным произведением двух
векторов х = (*!.....хп) и у = ?/п) в действительном
пространстве Дп (числа х(, у, действительные) называется число
л
(х, У)= (5)
/=1
Скалярное произведение в действительном пространстве Д обладает свойствами:
62
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
а) (ж, х) > О; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х = 0 = (0, 0),
б) (х, у) = (у, х),
в) (ах + Ру, г) = а(х, г) + Р(у, г). В самом деле,
п
(х, х) - Х*7 > о,
7=1
и равенство может быть лишь, если х1 = ... = хп = 0. Далее,
я я
(х, у) = Х*7^7 = 5^7*7 = (У, x) /=1 У=1
и
л
(со: + ру, 2) = X(ах + ри )2 = 1=1
л п
= аХ?/ + рХу727 = а(ж, г) + Р(у, г).
7=1 7=1
6.3. Скалярное произведение в комплексном пространстве Ип. Скалярным произведением двух векторов х = (ж,, жп) и у = (у,, уп) в комплексном пространстве /?п называется число
