Высшая математика - Бугров Я.С.
ISBN 5-7107-8420-6
Скачать (прямая ссылка):
л
(ж, у) = Х*7^У , (5')
7=1
где уI есть комплексное число, сопряженное к числу у/ (по определению, если г = а + р7, где аир действительные, то г = а - рО-
Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:
§6 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
63
а') (ж, ж) > 0; при этом -равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда х = О = (0, .... 0),
б') (ж, у) = {у, х),
в') {ах + ру, 2) = а(х, г) + р(у, г). В самом деле,
л л
(ж, ж) = ?Х7*У =
7=1 /=1
и равенство может быть, лишь если хх = ... = жл = 0. Далее,
п ^ л л
Х*7^7 " Х*>7 =Х^*7 = *>'
и=і ; у=1 у=і
Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения
2 + 2х = г + ^ и 22! = 2 • г1. Наконец,
л
(сеж + ру, 2) = 2(СХ*7 +14)^7 = 7=1
7=1 7=1
В комплексном пространстве Яп длина вектора ж определяется при помощи равенства
л
л
(3')
а расстояние между точками х — (ж,, .... хп) и у = (у,, уп)
Легко видеть, что при действительных жу, у1 выражения (3)
64_§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ_
и (4) являются частными случаями выражений (3'), (4').
Пространство Лп (действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым п-мерным пространством.
6.4. Неравенства Буняковского. Для скалярного произведения в действительном и комплексном пространстве справедливо неравенство (Буняковского1)
У)\ ^ т/(*.*)л/(у>г/) ¦ (6)
Докажем его только в действительном случае. В самом деле, для любого действительного числа X
О < (х + Ху, х + Ху) =
= (х, х) + Х(у, х) + Х(х, у) + Х2(у, у) =
= (х, х) + 2(х, у)Х + (у, у)Х2 = а + 2ЪХ + сХ2,
где а = (х, х), Ь - (х, у), с = (у, у). Мы видим, что квадратный многочлен
а + 2ЬХ + сХ2 > 0 (-оо < X < оо)
неотрицателен для любого действительного X. Поэтому весь его график лежит выше оси X, а это может быть, только если дискриминант многочлена отрицателен или равен нулю, т. е. если Ь2 — ас < 0 или Ъ2 < ас, и мы получили неравенство Буняковского (6).
На языке компонент векторов х и у неравенство (6) можно записать так:
,хіУі
1=1
(7)
1 В. Я. Буняковский (1804-1889) - русский математик.
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
65
Таким образом, каковы бы ни были действительные числа х{, yf, выполняется неравенство (7).
В силу (3) неравенство Буняковского можно написать
так:
К*, у)\ ? Ш.
Но тогда существует и притом единственное число X, удовлетворяющее неравенствам -1 < X < 1, для которого имеет место точное равенство
(х, у) = Х\х\\у\.
Отметим, что на [О, к] функция cos t имеет однозначную строго убывающую обратную функцию, с областью значений на [-1, 1]. Поэтому для каждого X (-1 < X < 1) существует единственный угол со (0 < со < л) такой, что X = *= cos со. Таким образом, мы доказали равенство
(х, у) = |*||y|cos со. (8)
Число со называется углом между n-мерными векторами х и у, хотя на самом деле при п > 3 векторы х и у являются вовсе не реальными отрезками, а математическими абстракциями.
Векторы хну называются ортогональными, если скалярное их произведение равно нулю
п
(*, У) = - о.
Из (8) следует, что для того, чтобы ненулевые векторы х и у были ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы угол между ними со = тс/2.
6.5. Неравенство Минковского. Отметим важное неравенство (Минковского1)
\х + у\ ? + \у\, (9)
1 Г. Минковский (1864-1909) - немецкий математик 3 Бугров. Т. 1
66
§6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
или на языке компонент
(10)
Его можно доказать так:
|* + у\2 = {х + у, х + у) = (*, х) + 2(х, у) + (у, у). Используя неравенство Буняковского (6), имеем
|* + у\2 < (х, х) + 2л](х,х)у}(у,у) + (у, у) =
= (л1(х,х)+л1(у,у))2, откуда следует (9). Из (9) следует неравенство
\\х\ ~ Ы\ < \х - у\, (11)
потому что
\х\ = \х - у + у\ <\х - у\ + \у\,
М = |у - * + *И I* - у1 + М-
Задача. Найти угол между векторами (1, 0, 1, 0), (1, 1. 1, !)•
Замечание 1. Произвольное множество Е, состоящее из элементов х, у, г, ... любой природы, называется линейным пространством, если существует закон, в силу которого для любых двух элементов х, у е Е определены элементы х + у е Е и х — у е Е, называемые соответственно суммой, разностью х и у, и для любого действительного или комплексного числа а и элемента х е Е определен элемент аде = ха е Е, называемый произведением а на х или х на а, так что выполняются перечисленные выше в этом параграфе свойства 1) — 8), где — х = = (~1)х, и 0 = Ох, Ух е Е.
Ип можно рассматривать как пример линейного пространства, но существуют и другие интересные примеры. Например, совокупность С непрерывных на отрезке [а, Ь] функций f, ф, ху, если считать, что / + ф, / - ф, а/ определены соответственно как /(дс) + ф(х), /(дс) — ф(х), сх/(дс), есть линейное пространство.
§7. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
67
Линейное пространство с умножением его элементов на действительные (комплексные) числа называется действительным (комплексным) линейным пространством.
Замечание 2. Если в каком-либо линейном пространстве Е каждым двум его элементам х, у приведено в соответствие число (дс, у), удовлетворяющее сформулированным выше свойствам а), б), в) в действительном случае и а'), б'), в') в комплексном случае, то говорят, что в Е введено скалярное произведение.
